Колинеарни точки

[Гост]

За кои стойности на реалния параметър [tex]a[/tex] кривата [tex]y=x^{4}+9x^{3}+ax^{2}+9x+4[/tex] съдържа четири колинеарни точки?

[peyo]

За кои стойности на реалния параметър [tex]a[/tex] кривата [tex]y=x^{4}+9x^{3}+ax^{2}+9x+4[/tex] съдържа четири колинеарни точки?

Първо ще си спомним, че знака на втората производна y'' на функция от типа $y=f(x)$ определя знака на кривината.
И сега ще се сетим, че за да има 4 точки които лежат на една права то нашата крива трябва да има точно една смяна на знака на кривината.

$y = x^{4}+9x^{3}+ax^{2}+9x+4$

$y''= 12x^2 +54*x + 2*a $

И сега задачата се свежда до въпроса: За кои стойности на параметъра $a$, квадратното уравнение $12x^2 +54*x + 2*a =0$ има 2 реални корена с различен знак?

Според фомулата на Виет:
$x_1x_2=2*a/12$

Което ни казва, че $а$ трябва да е отрицателно. Но трябва да имаме и реални корени,, затова дискриминантата трябва да е по-голяма от 0.

$D=54^2-4*12*2*a >0$

$2916-96a >0$

$2916/96 >a$
$a<30.375$

Което условие е по-слабо от първото което беше:

$а<0$

Което е и крайния отговор.

[Гост]

peyo, не е необходимо двата корена да са с различен знак [tex]\Rightarrow a<30.375[/tex]

[Добромир Глухаров]

peyo, мисля, че не е възможно да има една смяна на знака на кривината - може да са нула или две, защото втората производна или приема само неотрицателни стойности, или два пъти си сменя знака, който последен случай ни трябва.