Уравнение на равнина

[Гост]

Да се напише уравнение на равнина [tex]\alpha[/tex] , която е успоредна на правата
g1: [tex]\begin{array}{|l} x=1+k \\ y=0 \\ z=k \end{array}[/tex] и съдържа правата g2: [tex]\frac{x-2}{1}[/tex] = [tex]\frac{y-2}{-1}[/tex] = [tex]\frac{z}{1}[/tex]

[KOPMOPAH]

Да се напише уравнение на равнина [tex]\alpha[/tex] , която е успоредна на правата
g1: [tex]\begin{array}{|l} x=1+k \\ y=0 \\ z=k \end{array}[/tex] и съдържа правата g2: [tex]\frac{x-2}{1}[/tex] = [tex]\frac{y-2}{-1}[/tex] = [tex]\frac{z}{1}[/tex]

Ако човек се порови из Интернет, някой справочник или даже лекциите си, ще намери вариант на следното: Ако са дадени две кръстосани прави $g_1$ и $g_2$, то равнината, минаваща през $g_1$ и успоредна на $g_2$, се задава с уравнението $$\begin{array}{|ccc|} x-x_1&y-y_1&z-z_1 \\ l_1& m_1& n_1 \\l_2& m_2& n_2 \end{array}=0,~~~~~~~~(1)$$където

$x_1, y_1, z_1$ са координатите на произволна точка от $g_1$, оцветени в червено по-долу;
$l_1, m_1, n_1$ са направляващите коефициенти (координатите на направляващия вектор) на правата $g_1$, оцветени в синьо по-долу;
$l_2, m_2, n_2$ са направляващите коефициенти (координатите на направляващия вектор) на правата $g_2$, намиращи се в знаменателя на каноничното уравнение.

За целта трябва да си представим правата $g_1$ във вида $$g_1:\begin{array}{|l} x=\red{1}+\blue{1}.k \\ y=\red{0}+\blue{0}.k \\ z=\red{0}+\blue{1}.k \end{array}$$
Замествайки в $(1)$, получаваме уравнението$$\begin{array}{|ccc|} x-\red{1}&y-\red{0}&z-\red{0} \\ \blue{1}& \blue{0}& \blue{1} \\1& -1& 0 \end{array}=0,$$ което ни дава окончателния отговор$$x+y-z-1=0$$

[Гост]

Да, и аз това получавам като отговор. Въпросът е, че като верен отговор е дадено: [tex]\alpha[/tex]: x-z-2=0

[math10.com]

Може да постъпим и така:
Намираме 2 точки от [tex]g_1[/tex] да речем [tex]A(1,0,0) ; B(2,0,1)[/tex] и 2 точки от [tex]g_2[/tex] да речем [tex]C(2,2,0) ; D(3,1,1)[/tex]
От [tex]C[/tex] и [tex]D[/tex] намираме параметрично уравнение на равнината [tex]\begin{array}{|l} 2A+2B+D= 0 \\ 3A+B+C+D = 0 \end{array}[/tex]
[tex]\Rightarrow \alpha: -(2C+D)x+(2C-D)y+4Cz+4D=0[/tex]
Сега намираме разстоянието от точките А и В до равнината [tex]\alpha[/tex] и това разстояние трябва да бъде еднакво.
[tex]d_1=\frac{|-2C-D+4D|}{\sqrt{(-2C-D)^2+(2C-D)^2+16C^2}}=\frac{|-2C+3D|}{\sqrt{4C^2+4CD+D^2+4C^2-4CD+D^2+16C^2}}=\frac{|-2C+3D|}{\sqrt{24C^2+2D^2}}[/tex]
[tex]d_2=\frac{|-4C-2D+4C+4D|}{\sqrt{(-2C-D)^2+(2C-D)^2+16C^2}}=\frac{|2D|}{\sqrt{4C^2+4CD+D^2+4C^2-4CD+D^2+16C^2}}=\frac{|2D|}{\sqrt{24C^2+2D^2}}[/tex]

[tex]\Rightarrow |3D-2C|=|2D| \Rightarrow C=\frac{D}{2}[/tex] ,във втория случай [tex]C=\frac{5}{2}D[/tex] правата [tex]g_1 \cap \alpha[/tex]

[tex]\Rightarrow \alpha : -2Dx+2Dz+4D=0 \Rightarrow \alpha: x-z-2=0[/tex]

[Гост]

Благодаря за отговорите!