Лице на триъгълник

[stanko_77]

Да се намери лицето на триъгълник с върхове А (2;-1;0), B(0,1,1) и C (-1;-1,1).

[S.B.]

Да се намери лицето на триъгълник с върхове А (2;-1;0), B(0,1,1) и C (-1;-1,1).

Задачата ме заинтригува тъй като се отнася до триъгълник в пространството.Понеже съм позабравила материала по Аналитична геометрия се поразрових из университетските си учебници.Ето какво открих в учебника по Аналитична геометрия на проф.Алипи Матеев:

Теорема:Лицето на един триъгълник в пространството е равно на [tex]\frac{1}{2}[/tex] от корен квадратен от сумата на квадратите от лицата на триъгълниците - проекции на дадения триъгълник върху координатните равнини на произволна декартова правоъгълна координатна система
$$S =\frac{1}{2} \sqrt{S_{1 }^{2} + S_{2 }^{2} + S_{3 }^{2}}$$
Ако дадения $\triangle ABC$ е зададен с върхове:
$A(x_{1 },y_{1 },z_{1 }) ; B(x_{2 },y_{2 },z_{2 }) ; C(x_{3 },y_{3 },z_{3 })$
То ориентираните лица на проекциите на $\triangle ABC$ съответно върху координатните равнини $xOy$ , $yOz$ и $zOx$ са:
$2\overline{S_{1 }} = \begin{vmatrix} y_{1 } & z_{1 } & 1 \\ y_{2 } & z_{2 } & 1\\y_{3 } & z_{3 } & 1 \end{vmatrix}$ $2\overline{S_{2 }} = - \begin{vmatrix} z_{1 } & x_{1 } & 1 \\ z_{2 } & x_{2 } & 1\\z_{3 } & x_{3 } & 1 \end{vmatrix}$ $2\overline{S_{3 }} = \begin{vmatrix} x_{1 } & y_{1 } & 1 \\ x_{2 } & y_{2 } & 1\\x_{3 } & y_{3 } & 1 \end{vmatrix}$ ,
а $S_{1 } , S_{2 } , S_{3 }$ - съответните лица в елементарно геометричен смисъл.

В конкретната задача:
$A(2, -1, 0) \rightarrow x_{1 } = 2,y_{1 } = -1 , z_{1 } = 0$
$B(0, 1, 1) \rightarrow x_{2 } = 0 , y_{2 } = 1 , z_{2 } = 1$
$C(-1,-1, 1)\rightarrow x_{3 } = -1 ,y_{3 } = -1 , z_{3 } = 1$
$2\overline{S_{1 }} = \begin{vmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1\\-1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 \Rightarrow \overline{S_{1 }} = 1$

$2\overline{S_{2 }} = - \begin{vmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1\\1& -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \Rightarrow \overline{S_{2 }} = \frac{1}{2}$

$2\overline{S_{3 }} = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1\\-1 &-1 & 1 \end{vmatrix} = 6 \Rightarrow \overline{S_{3 }} = 3$

$S = \frac{1}{2}\sqrt{S_{1 }^{2} + S_{2 }^{2} + S_{3 }^{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{1 + \frac{1}{4} + 9} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{41}{4}} = \frac{\sqrt{41}}{4}$

[math10.com]

Не знам какво търси една рутинна задача по АГ в раздела задача на седмицата и искам да направя забележка на автора да пуска задачите в подходящите за материала който се използва раздели.

Аз ще предложа още два начина.
1-ви.Това е стандартния начин , който се използва във Вузовете:
Намираме векторите на трите страни:[tex]\vec{AB} (-2,2,1) ; \vec{AC} (-3,0,1) ; \vec{BC} (-1,-2,0)[/tex]
След това намираме дължините им:[tex]|AB|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{(-2)^2+2^2+1^2}=3 ; |AC|=\sqrt{10} ; |BC|=\sqrt{5}[/tex]
Сега с Косинусова теорема намираме косинуса на единия от ъглите:
[tex]AC^2=AB^2+BC^2-2AB.BC.cos\beta \Rightarrow cos \beta=\frac{9+5-10}{2.3.\sqrt{5}}=\frac{2}{3.\sqrt{5}}[/tex]
Вече може да намерин и синуса на този ъгъл: [tex]sin \beta=\sqrt{1-cos^2\beta}=\sqrt{\frac{41}{45}}=\frac{\sqrt{41}}{3\sqrt{5}}[/tex]
Лицето намираме по формулата: [tex]S_{ABC}=\frac{AB.BC.sin \beta}{2}=\frac{3.\sqrt{5}.\sqrt{41}}{2.3.\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{41}}{2}[/tex]

2-ри .Този начин е малко по-нестандартен.
Първо намираме общото уравнение [tex]\alpha :Ax+By+Cz+D=0[/tex] на равнината определена от [tex]\triangle ABC[/tex].

[tex]\begin{array}{|l}2A-B+D=0\\B+C+D=0 \\-A-B+C+D=0 \end{array}[/tex] от 2 и 3 [tex]\Rightarrow A=-2B[/tex] ; от 1 [tex]\Rightarrow D=5B[/tex] ; от 2 [tex]\Rightarrow C=-6B[/tex]

[tex]\alpha : -2x+y-6z+5=0[/tex]

Сега избираме произволна точка [tex]D[/tex] , която не лежи в равнината [tex]\alpha[/tex].
За по-лесно ще използвам началото на координатната система т.е. [tex]D(0,0,0)[/tex].

Сега намираме разстоянието от [tex]D[/tex] до [tex]\alpha[/tex] по формулата:[tex]d=\frac{Ax_d+By_d+Cz_d+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=\frac{5}{\sqrt{41}}[/tex]

Продължаваме напред намирайки обема на тетраедъра [tex]ABCD[/tex] , като [tex]V_{ABCD}=\frac{1}{6} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & -1 & 0\\1 & 0 & 1 & 1\\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{vmatrix}=\frac{5}{6}[/tex]

[tex]S_{ABC}=\frac{3V_{ABCD}}{d}=\frac{3\frac{5}{6}}{\frac{5}{\sqrt{41}}}=\frac{\sqrt{41}}{2}[/tex]

[KOPMOPAH]

Поздравления за втория начин!
Друг рутинен подход е намирането на трите страни и после намиране на лицето по Херонова формула.