Аналитична геометрия

[Гост]

Даден е триъгълник ABC с върхове A(2, 0), B(4,4) и C(2, 3)
Да се намери пресечната точка Q на височината през върха A и на медианата през върха C. Да се намери косинусът на ъгъла ACQ.

[Добромир Глухаров]

АГ.png (28.87 KiB) Прегледано 447 пъти

[Nathi123]

Като се използват знанията по аналит. геометрия ,задачата може да се реши по следния начин : уравнението на правата
ВС : y-4 = [tex]\frac{1}{2}(x-4) ; AH\bot BC[/tex][tex]\Rightarrow AH : y = k(x-2) ; k.\frac{1}{2}=-1\Rightarrow AH: 2x+y-4=0; M( \frac{2+4}{2},\frac{4}{2}) ; M(3,2)[/tex]

[tex]\Rightarrow CM : x+y-5=0[/tex]. Тогава координатите на т.Q се получават като решение на системата
[tex]\begin{array}{|l} x + y -5=0 \\ 2x+y-4 = 0 \end{array}[/tex] т.е Q ( -1,6).
[tex]\vec{CA}( 0,3) ; \vec{CQ} ( -3,3) \Rightarrow |\vec{CA}|=3 ; |\vec{CQ}|= 3\sqrt{2}\Rightarrow \vec{CA}.\vec{CQ}=3.3\sqrt{2}cos\angle ACQ ;[/tex]
[tex]-9=9\sqrt{2} cos\angle ACQ\Rightarrow cos \angle ACQ = -\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow \angle ACQ = 135^\circ[/tex].