Точка и Права - Аналитична геометрия

[Гост]

Дадени са точка A(1,-2) и права l: x-3y+13=0. Да се намерят
а) координатите на ортогоналната проекция P на точката A върху правата l;
б) координатите на точката B, която е ортогонално симетрична на точката A
относно правата l.

[math10.com]

а) Построяваме окръжност [tex]k(A,R) ; k \cap l=P[/tex] с уравнение [tex](x-1)^2+(y+2)^2=R^2[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} (x-1)^2+(y+2)^2=R^2 \Rightarrow (3y+12)^2+(y+2)^2=R^2 \Rightarrow 10y^2+76y+148-R^2=0\\ x - 3y +13 = 0 \Rightarrow x=3y+13\end{array}[/tex]

Тъй като [tex]l[/tex] е допирателна на [tex]k[/tex] следва ,че [tex]l[/tex] и [tex]k[/tex] имат единствена обща точка т.е Дискриминантата на полученото квадратно уравнение е 0

[tex]\Rightarrow y=-\frac{76}{20}=-3,8 \Rightarrow x=-11,4+13=1,6 \Rightarrow P(1,6 ; -3,8)[/tex]

б) Ортогонално симетричната точка на [tex]A[/tex] относно [tex]l[/tex] лежи на правата определена от точките [tex]A[/tex] и [tex]P[/tex] и е такава ,че [tex]P[/tex] е среда на отсечката [tex]AB[/tex].

[tex]\Rightarrow x_a+x_b=2x_p \Rightarrow x_b=2,2 \Rightarrow y_a+y_b=2y_p \Rightarrow y_b=-5,6 \Rightarrow B(2,2 ; -5,6)[/tex]