sin⁡x+cos⁡x =1/(2 sin⁡x cos⁡x )

[mimetol]

Може ли помощ по тази задача:
sin⁡x+cos⁡x =1/(√2 sin⁡x cos⁡x )

[Гост]

sin+cs.PNG (37.19 KiB) Прегледано 482 пъти

[Гост]

nipo.PNG (57.73 KiB) Прегледано 467 пъти

[mimetol]

Благодаря

[S.B.]

Може ли помощ по тази задача:
sin⁡x+cos⁡x =1/(√2 sin⁡x cos⁡x )

[tex]\sin x + \cos x = \frac{1}{ \sqrt{2}\sin x \cos x }[/tex]

Преработвам:
[tex](\sin x + \cos x)^{2} = \sin^{2}x + 2\sin x\cos x + \cos^{2}x \Leftrightarrow (\sin x + \cos x)^{2} = 1 +2 \sin x\cos x \Rightarrow[/tex]
[tex]\sin x\cos x = \frac{ (\sin x + \cos x)^{2} - 1 }{2}[/tex]

[tex]\sin x + \cos x = \displaystyle \frac{1}{ \sqrt{2} \displaystyle \frac{ (\sin x + \cos x)^{2} - 1 }{2} } \Leftrightarrow \sin x + \cos x = \frac{2 \sqrt{2} }{2[ (\sin x + \cos x)^{2} - 1] }[/tex]
Полагам [tex]\sin x + \cos x = t[/tex] съкращавам в дясно на $2$ и уравнението придобива вида:
[tex]t = \frac{ \sqrt{2} }{ t^{2} - 1 } \Leftrightarrow t^{3} - t = \sqrt{2} \Leftrightarrow t^{3} - t - \sqrt{2} = 0[/tex]
[tex]t = \sqrt{2}[/tex] е единствен реален корен - при непосредствена проверка [tex]\rightarrow ( \sqrt{2}) ^{3} - \sqrt{2} - \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} = 0[/tex]
Връщам полагането:

[tex]\sin x + \cos x = t \Leftrightarrow \sin x + \cos x = \sqrt{2} \Leftrightarrow\sin x + \sin(90 ^\circ - x) = \sqrt{2} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]2\sin \frac{x + 90 ^\circ - x }{2}\sin \frac{x - 90 ^\circ + x }{2} = \sqrt{2} \Leftrightarrow 2\sin 45 ^\circ.\sin (x - 45 ^\circ) = \sqrt{2} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]2. \frac{ \sqrt{2} }{2}.\cos(x - 45 ^\circ ) = \sqrt{2} \Rightarrow[/tex]
[tex]\cos(x - 45 ^\circ ) = 1 \Rightarrow x - 45 ^\circ = 0 ^\circ + 2k \pi \Rightarrow x = 45 ^\circ + 2k \pi[/tex]

[ammornil]

Връщам полагането:

[tex]\sin x + \cos x = t \Leftrightarrow \sin x + \cos x = \sqrt{2} \Leftrightarrow\sin x + \sin(90 ^\circ - x) = \sqrt{2} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]2\sin \frac{x + 90 ^\circ - x }{2}\sin \frac{x - 90 ^\circ + x }{2} = \sqrt{2} \Leftrightarrow 2\sin 45 ^\circ.\underline{\sin (x - 45 ^\circ)} = \sqrt{2} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]2. \frac{ \sqrt{2} }{2}.\underline{\cos(x - 45 ^\circ )} = \sqrt{2} \Rightarrow[/tex]
[tex]\cos(x - 45 ^\circ ) = 1 \Rightarrow x - 45 ^\circ = 0 ^\circ + 2k \pi \Rightarrow x = 45 ^\circ + 2k \pi[/tex]

Аз имам въпрос. Защо синус (х-45) стана косинус (х-45)?

[Davids]

Връщам полагането:

[tex]\sin x + \cos x = t \Leftrightarrow \sin x + \cos x = \sqrt{2} \Leftrightarrow\sin x + \sin(90 ^\circ - x) = \sqrt{2} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]2\sin \frac{x + 90 ^\circ - x }{2}\sin \frac{x - 90 ^\circ + x }{2} = \sqrt{2} \Leftrightarrow 2\sin 45 ^\circ.\underline{\sin (x - 45 ^\circ)} = \sqrt{2} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]2. \frac{ \sqrt{2} }{2}.\underline{\cos(x - 45 ^\circ )} = \sqrt{2} \Rightarrow[/tex]
[tex]\cos(x - 45 ^\circ ) = 1 \Rightarrow x - 45 ^\circ = 0 ^\circ + 2k \pi \Rightarrow x = 45 ^\circ + 2k \pi[/tex]

Аз имам въпрос. Защо синус (х-45) стана косинус (х-45)?

Допускам, че колежката е допуснала грешка при изписването на тъждеството с участие на формулата за сбор от синуси. На горните два реда (над магическото превръщане в косинус ) вторият множител вместо синус от разликата, трябва да е косинус от разликата. Всичко друго е точно.

[S.B.]

Връщам полагането:

[tex]\sin x + \cos x = t \Leftrightarrow \sin x + \cos x = \sqrt{2} \Leftrightarrow\sin x + \sin(90 ^\circ - x) = \sqrt{2} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]2\sin \frac{x + 90 ^\circ - x }{2}\sin \frac{x - 90 ^\circ + x }{2} = \sqrt{2} \Leftrightarrow 2\sin 45 ^\circ.\underline{\sin (x - 45 ^\circ)} = \sqrt{2} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]2. \frac{ \sqrt{2} }{2}.\underline{\cos(x - 45 ^\circ )} = \sqrt{2} \Rightarrow[/tex]
[tex]\cos(x - 45 ^\circ ) = 1 \Rightarrow x - 45 ^\circ = 0 ^\circ + 2k \pi \Rightarrow x = 45 ^\circ + 2k \pi[/tex]

Аз имам въпрос. Защо синус (х-45) стана косинус (х-45)?

Формулата за сбор на два синуса е:
[tex]\sin x + sin(90 ^\circ - x) = 2sin \frac{x + 90 ^\circ - x }{2}.cos \frac{x - 90 ^\circ + x }{2} = .....[/tex]
Няма никаква магия ,а просто съм направила грешка при въвеждането на текста без дори и да се усетя.Това не се е отразило на крайния резултат защото през цялото време съм имала предвид $\cos$ ,а и после съм писала $\cos$.Интернет връзката беше много нестабилна, аз два пъти губих връзка и се налагаше да дописвам ...Тогава е станало,за което се извинявам Благодаря за корекцията!
Благодаря на колегата Davids!