Геометрично място на точки

[Гост]

В пространството са дадени две точки А и В. Какво е геометричното място на всички точки М, за които АМ:ВМ=к, за положително k, различно от 1?

[peyo]

В пространството са дадени две точки А и В. Какво е геометричното място на всички точки М, за които АМ:ВМ=к, за положително k, различно от 1?

$x_a,y_a$ и $x_b,y_b$

Търсим $F(x,y)$. Имаме:

$\frac{\sqrt{(x-x_a)^2 + (y-y_a)^2}}{\sqrt{(x-x_b)^2 + (y-y_b)^2}}=k$

$(x-x_a)^2 + (y-y_a)^2 = k^2((x-x_b)^2 + (y-y_b)^2)$

Това явно е някаква крива от втора степен. Може да бъде окръжност, елипса, парабола хипербола, две прави и какво още? За разберем точно каква крива, ще завъртим двете точки така, че да са успоредни на оста X, след това ще я транслираме така, че точката А да дойде в (0,0). Тогава А и B ще бъдат в точките (0,0) и (b,0):

$x^2 + y^2 = k^2(x-b)^2 + k^2y^2$

Това изгллежда доста по-добре. Да се опитаме да го преобразуваме до позната крива:

$x^2 + y^2 = k^2(x^2- 2xb +b^2) + k^2y^2$

$x^2 + y^2 = k^2x^2- 2k^2xb +k^2b^2 + k^2y^2$

$x^2 -k^2x^2 + - 2k^2xb + y^2 - k^2y^2= k^2b^2 $

$x^2(1 -k^2) - 2k^2xb + y^2(1 - k^2)= k^2b^2 $

$x^2 - \frac{2xk^2b}{1 -k^2} + y^2= \frac{k^2b^2}{1 -k^2} $

$x^2 - \frac{2xk^2b}{1 -k^2} + (\frac{k^2b}{1 -k^2})^2 + y^2= \frac{k^2b^2}{1 -k^2} + (\frac{k^2b}{1 -k^2})^2$

$(x - \frac{k^2b}{1 -k^2})^2 + y^2= \frac{b^{2} k^{2}}{\left(k^{2} - 1\right)^{2}}$

$ \left(x - \frac{k^2b}{1 -k^2}\right)^2 + y^2= \left(\frac{b k}{k^{2} - 1}\right)^{2}$

Voilà ! Търсеното геометрично място се оказа се окръжност с добре дефиниран радиус и център! Виждаме и защо $k=1$ се споменава в условието.

[KOPMOPAH]

В пространството са дадени две точки А и В....

Според мен ГМТ трябва да е повърхнина.
При $k=1$ това е симетралната равнина, при $k\ne 1$ е...

[peyo]

В пространството са дадени две точки А и В....

Според мен ГМТ трябва да е повърхнина.
При $k=1$ това е симетралната равнина, при $k\ne 1$ е...

3D? Хм...

В 2D е окръжност, по аналогия в 3D ще е сфера. Може би ...

[Гост]

В равнината условието на задачата е "истинската" дефиниция за окръжност от древността. Сега се учи само, че това е съвкупност от точки, равноотдалечени от фиксирана точка. В пространството става сфера, както отбелязва peyo. Peyo, вземи такава координатна с-ма, че A(-a,0,0) и B(a,0,0) и удряй

[Гост]

може да се добави, че центърът лежи на правата АВ

[Гост]

всъщност най-лесно е А(0,0,0)

[S.B.]

В пространството са дадени две точки А и В....

Според мен ГМТ трябва да е повърхнина.
При $k=1$ това е симетралната равнина, при $k\ne 1$ е...

Без заглавие - 2021-06-21T094516.909.png (137.76 KiB) Прегледано 555 пъти

Аз мисля като колегата KOPMOPAH
На чертежа съм сменила точка $M$ с точка $P$ ,съжалявам!
Търси се ГМТ за които [tex]AM : MB = k \ne 1 \Rightarrow AM = k.MB[/tex]
За $k = 1$ това би било симетралата равнина за точките $A$ и $B$
През двете точки в пространството съществува единствена права $AB$
Съществува единствена т. [tex]P \in AB[/tex], такава,че [tex]AP:PB = k \Rightarrow AP = PB.k[/tex]
Тогава търсеното ГМТ ще бъде повърхнина [tex]\lambda \begin{cases} \lambda z P \\ \lambda \bot AB\end{cases}[/tex]
Може и да не съм права,но това е моето мнение.Някак си не мога да си представя сферична повърхност,такава,че за всяка точка $P$ от нея да е изпълнено $AP = k.PB$

[peyo]

Добре, за 3D пространството да видим;

Имаме точките
$(x_a,y_a,z_a)$ и $(x_b,y_b,z_b)$

Търсим $F(x,y,z)$ такава че:

$\frac{\sqrt{(x-x_a)^2 + (y-y_a)^2+ (z-z_a)^2}}{\sqrt{(x-x_b)^2 + (y-y_b)^2+ (z-z_b)^2}}=k$

$(x-x_a)^2 + (y-y_a)^2 + (z-z_a)^2= k^2((x-x_b)^2 + (y-y_b)^2)+ (z-z_b)^2$

И сега това е някаква повърхнина от втора степен. Може да бъде сфера, конус и какво още, не se сещам за имената на другите? За улеснение ще въртим двете точки така, че да станат успоредни на оста X, след това ще ги транслираме така, че точката А да дойде в (0,0,0). Тогава А и B ще бъдат в точките (0,0,0) и (b,0,0):

$x^2 + y^2 + z^2 = k^2(x-b)^2 + k^2y^2 + k^2z^2$

Това изгллежда доста по-добре. Да се опитаме да го преобразуваме по същия начин както при 2D:

$x^2 + y^2 + z^2= k^2(x^2- 2xb +b^2) + k^2y^2+ k^2z^2$

$x^2 + y^2 + z^2= k^2x^2- 2k^2xb +k^2b^2 + k^2y^2+ k^2z^2$

$x^2 -k^2x^2 + - 2k^2xb + y^2 - k^2y^2+ z^2 -k^2z^2= k^2b^2 $

$x^2(1 -k^2) - 2k^2xb + y^2(1 - k^2)+ z^2(1 - k^2)= k^2b^2 $

$x^2 - \frac{2xk^2b}{1 -k^2} + y^2 + z^2= \frac{k^2b^2}{1 -k^2} $

$x^2 - \frac{2xk^2b}{1 -k^2} + (\frac{k^2b}{1 -k^2})^2 + y^2= \frac{k^2b^2}{1 -k^2} + (\frac{k^2b}{1 -k^2})^2$

$(x - \frac{k^2b}{1 -k^2})^2 + y^2 + z^2= \frac{b^{2} k^{2}}{\left(k^{2} - 1\right)^{2}}$

$ \left(x - \frac{k^2b}{1 -k^2}\right)^2 + y^2 +z^2= \left(\frac{b k}{k^{2} - 1}\right)^{2}$

И voilà ! Търсеното геометрично място наистина се оказа сфера.

[KOPMOPAH]