Обем

[Гост]

Обемът на областта в пространството на всички точки [tex](x,y,z)[/tex], за които е изпълнено [tex]( x^{2 }+ y^{2 }+ z^{2 } +8) ^{2 } \le 36( x^{2 } + y^{2 })[/tex], е?

[Гост]

тва е тор

[Гост]

torus.PNG (19.24 KiB) Прегледано 373 пъти

https://www.youtube.com/watch?v=xd_BTEcPtCY

[Davids]

Обемът на областта в пространството на всички точки [tex](x,y,z)[/tex], за които е изпълнено [tex]( x^{2 }+ y^{2 }+ z^{2 } +8) ^{2 } \le 36( x^{2 } + y^{2 })[/tex], е?

Да се пробваме освен Нека първо минем в полярни координати чрез стандартната смяна:
[tex]\begin{array}{|l} x = r\cos\varphi \\ y = r\sin\varphi \end{array}[/tex], където инициално [tex]\begin{array}{|l} \varphi \in [0, 2\pi] \\ 0 \le r \end{array}[/tex]

Тогава областта ни се превръща в $Т^*: (r^2 + z^2 + 8)^2 \le 36r^2$, но понеже $r^2 + z^2 + 8 > 0$ и $r \ge 0$, можем спокойно да коренуваме двете страни без да променяме областта, след което достигаме до: $r^2 + z^2 + 8 \le 6r \Leftrightarrow 0 \le z^2 \le 6r - r^2 - 8$.

Остава да "оберем" още каквото се налага, например, че за да имаме такива точки въобще, трябва:
$6r - r^2 - 8 \ge 0 \Leftrightarrow r^2 - 6r - 8 \le 0 \Leftrightarrow r\in[2, 4]$

и следователно $z \in \left[-\sqrt{6r - r^2 - 8}, +\sqrt{6r - r^2 - 8}\right]$. Ограничения за ъгъла не се появиха, значи интегрираме по целия му диапазон. Разбира се, не забравяме и якобианката $\Delta = r$. Така търсеният обем би трябвало да е:

$V(T) = \int_0^{2\pi}\int_2^42r\sqrt{6r-r^2-8}drd\varphi = 4\pi\int_2^4r\sqrt{6r-r^2-8}dr$.

Този интеграл сам по себе си е добро упражнение и смятам да ти го оставя... с малка подсказка: допълване до точен квадрат. Крайният резултат за обема би трябвало да е $\boxed{V(T) = 6\pi^2}$.