Елипса

[Гост]

Дадена е елипсата [tex]\frac{ x^{2 } }{ a^{2 } }+ \frac{ y^{2 } }{b ^{2 } } =1[/tex]. Намерете координатите на точка Е от елипсата в първи квадрант, ако е известно, че допирателната към елипсата в Е образува с координатните оси триъгълник с минимално лице. На колко е равно това лице?

[Добромир Глухаров]

Елипса.png (28.33 KiB) Прегледано 489 пъти

$\begin{array}{|l}x=a.cos\varphi\\y=b.sin\varphi\end{array},\ \varphi\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$

$t\equiv\frac{\dot{y}}{\dot{x}}\cdot x+n=y$

$\begin{array}{|l}\frac{b.cos\varphi}{-a.sin\varphi}\cdot x_0+n=y_0\\x_0=a.cos\varphi\\y_0=b.sin\varphi\end{array}$

$\Rightarrow n=\frac{b}{sin\varphi}$

$t\equiv-\frac{b}{a}\cdot cotg\varphi\cdot x+\frac{b}{sin\varphi}=y$

$(u,0)\in t\Rightarrow -\frac{b}{a}\cdot cotg\varphi\cdot u+\frac{b}{sin\varphi}=0\Rightarrow u=\frac{a}{cos\varphi}$

$(0,v)\in t\Rightarrow \frac{b}{sin\varphi}=v$

$S_{\Delta}=\frac{1}{2}u.v=\frac{1}{2}\cdot\frac{a}{cos\varphi}\cdot\frac{b}{sin\varphi}=\frac{ab}{sin(2\varphi)}=f(\varphi)$

Във функцията $f(\varphi)$ числителят е константа, а знаменателят зависи от $\varphi$ и минимум се достига, когато знаменателят достига максимум. $|sin(2\varphi)|\leq1\Rightarrow f_{min}=\frac{ab}{1}$ и се достига, когато $sin(2\varphi)=1\Rightarrow2\varphi=\frac{\pi}{2}\Rightarrow\varphi=\frac{\pi}{4}$

$x=acos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{a\sqrt{2}}{2},y=bsin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{b\sqrt{2}}{2}$

Отговор: $E\left(\frac{a\sqrt{2}}{2},\frac{b\sqrt{2}}{2}\right),\ S_{min}=ab$