Тунел

[Гост]

Еднопосочен път минава през тунел с формата на полуелипса, чиито широчина и височина са равни. Каква е минималната височина на тунела, ако през него може да премине камион с широчина 2м и височина 4м?

[peyo]

Еднопосочен път минава през тунел с формата на полуелипса, чиито широчина и височина са равни. Каква е минималната височина на тунела, ако през него може да премине камион с широчина 2м и височина 4м?

Първо ни трябва формула на елипса която е 2 пъти по-висока отколкото широка.

$\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b} = 1$

При $x=0$:

$\frac{y^2}{b} = 1$

$y = \sqrt{b}$

При $y=0$:

$\frac{x^2}{a} = 1$

$x = \sqrt{a}$

$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} =2 $
$\sqrt{b}=2\sqrt{a} $
$b=4a $

И така нашата елипса е:
$\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{4a} = 1$

Сега ще пресечем тази елипса с правите:
$x=1$
$y=4$

$\frac{1}{a}+\frac{16}{4a} = 1$

$1+4 = a$

$a=5$

Или
$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{20} = 1$

Височината на тунела ще намерим при $x=0$:

$\frac{y^2}{20} = 1$

$y^2 = 20$

$y = \sqrt{20} = 4.47213595499958$

Да видим:

geogebra-export(19).png (567.05 KiB) Прегледано 1066 пъти