Напишете каноничното уравнение на хипербола допираща...

[A.Boqrov]

4зад. Напишете каноничното уравнение на хипербола допираща се до права x-y-3=0 и минаваща през т.М (-5;-2)

[Anubis]

Нека търсената хипербола има канонично уравнение [tex]k: \, \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/tex]. Понеже [tex]M \left ( -5; -2 \right ) \in k[/tex], то

[tex]\fbox {\frac{25}{a^2}-\frac{4}{b^2}=1}[/tex].

Когато имаме хипербола [tex]k: \, \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/tex] и права [tex]m: \, y=kx+n[/tex], която е нейна допирателна, трябва

[tex]a^2k^2-b^2=n^2[/tex].

В нашия случай правата [tex]m[/tex] има уравнение [tex]m: \, y=x-3 \Rightarrow k=1, \, n=-3[/tex]. Така

[tex]\fbox {a^2-b^2=9}[/tex].

От двете ограденички се получава [tex]a^2=15, \, b^2=6[/tex]. Търсената хипербола е [tex]k: \, \frac{x^2}{15}-\frac{y^2}{6}=1[/tex].