Изведете уравнение на права минаваща през P и успоредна ...

[A.Boqrov]

6зад В пространството са дадени две пресекателни равнини K1 : a1x+b1x+c1x+D1=0 и К2:а2х+b2x+c2x+d2=0 и точка P(Xo,Yo,Zo). Изведете уравнение на права минаваща през P и успоредна на К1 и К2.

[Anubis]

Векторът [tex]p \left ( b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}; \, c_{1}a_{2}-c_{2}a_{1}; \, a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1} \right )[/tex] е компланарен с двете равнини, тогава той е колинеарен и с

тяхната пресечница [tex]g[/tex]. Ако [tex]N \left ( x_{1}; \, y_{1}; \, z_{1} \right )[/tex] лежи върху правата [tex]g[/tex], тогава скаларните параметрични уравнения са

[tex]g: \, \begin{array} x = x_{1} + \left ( b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1} \right ) s \\ y = y_{1} + \left ( c_{1}a_{2}-c_{2}a_{1} \right ) s \\ z = z_{1} + \left ( a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1} \right ) s \end{array}[/tex].

Нека [tex]l[/tex] е търсената права. Понеже [tex]l || g[/tex], тогава двете прави имат един и същи колинеарен вектор. Така векторът

[tex]p \left ( b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}; \, c_{1}a_{2}-c_{2}a_{1}; \, a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1} \right )[/tex] е колинеарен и с [tex]l[/tex]. Тогава [tex]l[/tex] има уравнения

[tex]l: \, \begin{array} x = x_{0} + \left ( b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1} \right ) k \\ y = y_{0} + \left ( c_{1}a_{2}-c_{2}a_{1} \right ) k \\ z = z_{0} + \left ( a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1} \right ) k \end{array}[/tex],

понеже точката [tex]P \left ( x_{0}; \, y_{0}; \, z_{0} \right ) \in l[/tex] (права изобщо се определя с точка от нея и някакъв колинеарен вектор).