Равностранен триъгълник

[Гост]

АВС е равностранен:
а) Намерете геометричното място на всички точки Х, за които [tex]AX^{2 }= BX^{2 }+CX ^{2 }[/tex];
б) Докажете, че педалният триъгълник, съответсващ на Х от а), спрямо АВС е правоъгълен.

[nikola.topalov]

Разглеждаме ротацията [tex]\rho(C,+60^\circ)[/tex], при която [tex]\rho(C,+60^\circ):X\rightarrow X'[/tex] и [tex]\rho(C,+60^\circ):B\rightarrow O[/tex]. Понеже [tex]\rho(C,+60^\circ):BX\rightarrow BX'[/tex] и [tex]\rho(C,+60^\circ):AX\rightarrow X'C[/tex], то [tex]BX=BX'[/tex] и [tex]AX=CX'[/tex], както и [tex]\sphericalangle XBX'=60^\circ[/tex] от свойствата на ротацията. Тогава [tex]\triangle XBX'[/tex] е равностранен и [tex]XX'=XB[/tex]. Имаме [tex]AX^2=CX'^2=BX^2+CX^2=XX'^2+X'C^2[/tex] и следователно [tex]\sphericalangle X'XC=90^\circ[/tex] според обратната Питагорова теорема. Така получаваме, че [tex]\sphericalangle BXC=150^\circ[/tex]. Нека построим окръжността около [tex]\triangle BXC[/tex] (чиито център се оказва точка [tex]O[/tex]). Тогава за [tex]X[/tex] принадлежаща на малката дъга [tex]BC[/tex] на окръжността ще е изпълнено равенството [tex]AX^2=BX^2+CX^2[/tex].

Picture12.png (75.25 KiB) Прегледано 1027 пъти

[Гост]

само на пръв поглед: завърташ около С, обратно на часовниковата стрелка-тогава [tex]C \rightarrow C, A \rightarrow B, B \rightarrow O, X \rightarrow X', BX \rightarrow OX'[/tex]