Точката A(-4, 5) е връх на квадрат, диагоналът на който лежи

[Гост]

Точката A(-4, 5) е връх на квадрат, диагоналът на който лежи на правата 7x-y+8=0. Да се напишат уравненията на страните и вторият диагонал на квадрата.

Не разбирам задачата или въобще как да започна, моля помощ!

[KOPMOPAH]

Като начало да проверим дали диагоналът, за който става дума, минава през точката.

Заместваме в уравнението (у-ето ) и получаваме$$7.(-4)-5+8=-25 \ne 0,$$което идва да покаже, че не минава през точката $A(-4, 5)$, т.е. тя не лежи на него. Това не бива да ни смущава, защото ако лежеше, задачата щеше да е неопределена

Продължаваме нататък - значи през точката $A(-4, 5)$ минава другият диагонал, който е перпендикулярен на дадения, доколкото диагоналите във всеки квадрат са перпендикулярни.

Линия, перпендикулярна на $7x-y+8=0$ трябва да изглежда така $x+7y+a=0$
За да намерим колко е $a$ трябва да заместим с координатите на точката, през която минава диагоналът, а това е добре известната ни точка $A(-4, 5)$ $$-4+7.5+a=0 \Rightarrow a=-31$$Уравнението на правата, на която лежи вторият диагонал, изглежда така:$$x+7y-31=0,$$което можете да приведете в каквато форма желаете.

(to be continued...)

[KOPMOPAH]

Следва да намерим пресечената точка на диагоналите или центъра на квадрата. За целта съставяме система от уравненията за правите на диагоналите:$$\begin{array}{|l} \displaystyle 7x-y+8=0 \\ x+7y−31=0\end{array}$$Решенията на тази система ни дават координатите на центъра $O(-0,5;4,5)$.

Координатите на срещуположния връх $C$ ще намерим от равенството за среда на отсечка:$$x_O=\frac{x_A+x_C}2,~~y_O=\frac{y_A+y_C}2\rightarrow x_C=...=3,~~y_C=...=4$$И така $C(3;4)$. Продължаваме с намирането на разстоянието от върха $A$ до центъра $O$.
$$AO=\sqrt{(x_O-x_A)^2+(y_O-y_A)^2}=\sqrt{(-0,5-(-4))^2+(4,5-5)^2}=\frac{5\sqrt 2}2$$Това разстояние ни е необходимо, за да построим окръжност с такъв радиус, която ще пресече диагонала $7x-y+8=0$ в точки $B$ и $D$. Уравнението на окръжност с център $O$ и радиус $r$ е$$(x-x_O)^2+(y-y_O)^2=r^2$$Като заместим с известните координати на центъра $O$ и радиус $AO=\frac{5\sqrt 2}2$ получаваме $$(x+0,5)^2+(y-4,5)^2=\frac{25}2$$За да намерим липсващите върхове съставяме системата$$\begin{array}{|l} 7x-y+8=0\\(x+0,5)^2+(y-4,5)^2=\displaystyle\frac{25}2 \end{array}$$
Ако внимаваме при решаването, трябва да получим $B(-1;1)$ и $D(0;8)$.

Като финален акорд използваме четири пъти уравнението за права през две точки, което за страната $AB$ изглежда така$$\frac{(y-y_A)}{(y_B-y_A)}=\frac{(x-x_A)}{(x_B-x_A)}$$ и намираме уравненията за страните на квадрата.

Скрит текст: покажи

$$a_1:4x+3y=-1 \\
a_2:-3x+4y=7 \\
a_3:4x+3y=24 \\
a_4:-3x+4y=32$$

[Гост]

Супер си! Много ти благодаря! Само ако можеш пак да обясниш защо x+7y+a е перпендикулярно на 7x-y+8?

[Гост]

Супер си! Много ти благодаря! Само ако можеш пак да обясниш защо x+7y+a е перпендикулярно на 7x-y+8?

Май сам си отговорих на въпроса. Щом откриваме a и b, след това трябва да открием третото число така, че уравнението да се нагоди да е равно на 0, като за да стане това е нужно да има -31.

[Гост]

Продължаваме с намирането на разстоянието от върха \displaystyle AA до центъра \displaystyle OO.
\displaystyle AO=\sqrt{(x_O-x_A)^2+(y_O-y_A)^2}=\sqrt{(-0,5-(-4))^2+(4,5-5)^2}=\frac{5\sqrt 2}2
AO=
(x
O
​
−x
A
​
)
2
+(y
O
​
−y
A
​
)
2

​
=
(−0,5−(−4))
2
+(4,5−5)
2

​
=
2
5
2
​

​

Това разстояние ни е необходимо, за да построим окръжност с такъв радиус, която ще пресече диагонала \displaystyle 7x-y+8=07x−y+8=0 в точки \displaystyle BB и \displaystyle DD. Уравнението на окръжност с център \displaystyle OO и радиус \displaystyle rr е
\displaystyle (x-x_O)^2+(y-y_O)^2=r^2
(x−x
O
​
)
2
+(y−y
O
​
)
2
=r
2

Като заместим с известните координати на центъра \displaystyle OO и радиус \displaystyle AO=\frac{5\sqrt 2}2AO=
2
5
2
​

​
получаваме
\displaystyle (x+0,5)^2+(y-4,5)^2=\frac{25}2
(x+0,5)
2
+(y−4,5)
2
=
2
25
​

За да намерим липсващите върхове съставяме системата
\begin{array}{|l} 7x-y+8=0\\(x+0,5)^2+(y-4,5)^2=\displaystyle\frac{25}2 \end{array}
7x−y+8=0
(x+0,5)
2
+(y−4,5)
2
=
2
25
​

​


Ако внимаваме при решаването, трябва да получим \displaystyle B(-1;1)B(−1;1) и \displaystyle D(0;8)D(0;8).

С тази окръжност обаче ми разказа играта, може ли да обясниш как става от тази система едновременно да намерим B и D и няма ли по-лесен начин?