Забележителни точки

[Гост]

к(О, R) е описана около АВС с ортоцентър Н. Ако Х е такава, че О е средата на НХ, и М1, М2 и М3 са медицентровете на ВСХ, САХ и АВХ, намерете АМ1, ВМ2 и СМ3.

[nikola.topalov]

В тази задача е много удобно да използваме векторния апарат. Нека с [tex]G[/tex] си означим медицентъра на [tex]\triangle ABC[/tex]. От свойствата на правата на Ойлер имаме $$\overrightarrow{OG}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{OH}$$ и понеже за произволна точка от равнината на нашия триъгълник е изпълнено равенството $$\overrightarrow{OG}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$$ то оттук след заместване получаваме $$\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$$ По условие точките [tex]H[/tex], [tex]O[/tex] и [tex]X[/tex] са колинеарни и [tex]OH=OX[/tex], следователно [tex]\overrightarrow{OH}=-\overrightarrow{OX}[/tex] и $$\overrightarrow{OX}=-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$$ Тъй като [tex]M_1[/tex] е медицентър на [tex]\triangle BXC[/tex] отново по условие, то $$\overrightarrow{OM_1}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OX}+\overrightarrow{OC})=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{OA}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AO}$$ откъдето разбираме две неща: [tex]A[/tex], [tex]O[/tex] и [tex]M_1[/tex] са колинеарни (което не е важно в случая) и [tex]OM_1=\dfrac{1}{3}AO[/tex]. И така [tex]AM_1=\dfrac{4}{3}R[/tex]. Аналогично намираме дължините и на другите две отсечки. Оказва се, че [tex]AM_1=BM_2=CM_3=\dfrac{4}{3}R[/tex].

[Гост]

s kompleksni chisla e oshte po-kompaktno