Уравнения на асимптоти-изродени и не изродени криви от 2 ст.

[Nasko_90]

Здравейте!

Искам да попитам, ако кривата е изродена, т.е. детерминантата е равна на 0 тя се разлага на 2 у-я, тях знам как да ги намеря. Но ако е не изродена, т.е. детерминантата е разлчична от 0 не знам как да продължа, за да намеря у-ето или у-ята. В учебника и в интернет е обяснено само за изродени, а за не изродени криви не е обяснено, а на мен кривата ми се получава точно не изродена. Някой може ли да ми побогне?

Ето конкретно изадачата, която решавам:
на снимка 1 е кривата от втора степен, на снимка 2 е симетричната матрицата, която получавам (det=-16 получих), т.е. не изродена крива и не знам как да продължа.

[Flame]

Здравейте!

Искам да попитам, ако кривата е изродена, т.е. детерминантата е равна на 0 тя се разлага на 2 у-я, тях знам как да ги намеря. Но ако е не изродена, т.е. детерминантата е разлчична от 0 не знам как да продължа, за да намеря у-ето или у-ята. В учебника и в интернет е обяснено само за изродени, а за не изродени криви не е обяснено, а на мен кривата ми се получава точно не изродена. Някой може ли да ми побогне?
Ето конкретно изадачата, която решавам:
на снимка 1 е кривата от втора степен, на снимка 2 е симетричната матрицата, която получавам (det=-16 получих), т.е. не изродена крива и не знам как да продължа.

Няма да преписвам теорията просто ще реша задачата:
Намираме:
[tex]\Delta =\left|\begin{array}{ccc}a & b & d \\b & c & e \\d & e & f\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}3 & -5 & 7 \\-5 & 3 & -1 \\7 & -1 & -4\end{array}\right|=-16[/tex]
[tex]\delta =\left|\begin{array}{cc}a & b \\b & c\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}3 & -5 \\-5 & 3\end{array}\right|=-16[/tex]

При [tex]\Delta \ne 0[/tex] и [tex]\delta < 0[/tex] следва, че кривата е хипербола

Да направим канонизацията с ротация, а след това и транслация.

Ротация
При ротацията премахваме всички смесени произведения на променливите
Трансформираното уравнение след ротация е:
[tex]a' x'^2+c'y'^2+d'x'+e'y'+f=0[/tex], където:
[tex]D=\sqrt{(a-c)^2+4 b^2}.sign{b}[/tex]
[tex]a'=\frac{1}{2 } .(a+c+D),[/tex]
[tex]c'=\frac{1}{2 } .(a+c-D),[/tex]
[tex]d'=\frac{d \sqrt{\frac{a-c+D}{D}}}{\sqrt{2}}+\frac{e \sqrt{\frac{-a+c+D}{D}}}{\sqrt{2}}[/tex]
[tex]e'=\frac{e \sqrt{\frac{a-c+D}{D}}}{\sqrt{2}}-\frac{d \sqrt{\frac{-a+c+D}{D}}}{\sqrt{2}}[/tex]
В твоя случай се получава
[tex]a'=-2,c'=8,d'=3\sqrt{2} ,e'=-4\sqrt{2}[/tex]



Транслация
При транслация премахваме всички линейни членове:
Трансформираното уравнение е:
[tex]a' x''^2+c'y''^2+f''=0[/tex], където
[tex]f''=\frac{\Delta }{\delta } =\frac{-16}{ -16} =1[/tex], или
[tex]-2.x''^2+8.y''^2+1=0 \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\frac{x''^2}{\frac{1}{ 2} } -\frac{y''^2}{ \frac{1}{8 } }=1[/tex]- хипербола

[Nasko_90]

Flame, благодаря, много ми помогна!