Задачи за КР

[ВаСкоНТе]

Здравейте, скоро трябва да си предавам курсовата работа, а не мога да се справя със следните задачи


1) Дадени са векторите[tex]\vec{a}[/tex] и [tex]\vec{b}[/tex] и нека [tex]|\vec{a}|=2[/tex], [tex]|\vec{b}|=3[/tex]. Да се пресметне елементарния геометричен ъгъл между векторите, ако се знае, че векторите [tex]\vec{p} =\vec{a} +(\vec{a} x\vec{b} )[/tex] и [tex]\vec{q} =\vec{a} +\vec{b}[/tex] са перпендикулярни.


2)Да се намери уравнението на равнина[tex]\alpha[/tex], преминаваща през точките М1(1,2,1), М2(4,8,4), М3(6,4,-2) и т.Q симетрична на т.P(2,1,2) относно [tex]\alpha[/tex]

П.п Тук съм намерил уравнението на равнината, остана само симетричната точка


3)Намерете разстоянието между двете успоредни прави:
[tex]a-> \frac{x}{3 }=\frac{y+4}{-1 }=\frac{z+18}{4 }[/tex]
[tex]b-> \frac{x+7}{3 }=\frac{y-5}{-1 }=\frac{z-9}{4 }[/tex]


4)Намерете уравнението на допирателната към елипсата :
[tex]\frac{x^2}{10 }+\frac{2y^2}{5 }=1[/tex]
перпендикулярна на правата
[tex]l-> x-2y+1=0[/tex]


Ще съм Ви изключително благодарен, ако ми предоставите решението на задачките ....

[ptj]

2)Да се намери уравнението на равнина[tex]\alpha[/tex], преминаваща през точките М1(1,2,1), М2(4,8,4), М3(6,4,-2) и т.Q симетрична на т.P(2,1,2) относно [tex]\alpha[/tex]

След като си намерил уравнението на равнината напиши уравнението на перпендикулярната права на [tex]\alpha[/tex] през т. [tex]P[/tex]. След това използвайки формулата за разстояние от точка P до равнината [tex]\alpha[/tex], намери координатите на т.[tex]Q[/tex]. Ако намериш две точки, съобрази че знака на ориентираното разстояние показва дали две точки са от една и съща страна на равнината.

За 4-та изрази "y" чрез "x" в уравнението на елипсата. После ти стига да знаеш, че допирателната в коя да е точка е първа производна.

[kerry]

Относно първата задача.

Векторите [tex]\vec{a}[/tex] и [tex]\vec{b}[/tex] определят равнина [tex]\alpha[/tex].

Тяхното векторно произведение [tex](\vec{a}x\vec{b})[/tex] и вектор [tex]\vec{p} = \vec{a} + (\vec{a}x\vec{b})[/tex] са в равнина [tex]\beta[/tex] , която е перпендикулярна на равнината [tex]\alpha[/tex]. (Знаеш ли защо?).

Вектор [tex]\vec{q}[/tex] е перпендикулярен на равнината [tex]\beta[/tex], защото по условие е перпендикулярен на вектор [tex]\vec{p}[/tex] , който лежи в тази равнина. (само питанка)

Значи векторите [tex]\vec{a}, \vec{b}[/tex] и [tex]\vec{q}[/tex] са от равнината [tex]\alpha[/tex]

и [tex]\vec{q}[/tex] е перпендикулярен на [tex]\vec{a}[/tex].

Получих, че ъгълът между векторите [tex]\vec{a}[/tex] и [tex]\vec{b}[/tex] e:

[tex]\frac{\pi}{2}+arcsin \frac{2}{3}[/tex]

[Flame]

Още коментари и решение на първата:

Имаме:


[tex]\vec{p}.\vec{q}=0[/tex] - перпендикулярни.

[tex](\vec{a}+\vec{a}\times\vec{b}).(\vec{a}+\vec{b})=0[/tex]

[tex]\vec{a}.\vec{a}+ \vec{a}.\vec{b} + \(\vec{a}\times\vec{b}\).\vec{a}+ \(\vec{a}\times\vec{b}\). \vec{b}=0[/tex]

Внимание към двете смесени произведения. И двете са равни на нула, защото а и б дават перпендикулярен вектор и на а, и на б. Умножен с а и б скаларно дават нули, ясно нали?

[tex]\vec{a}.\vec{a}+ \vec{a}.\vec{b}=0[/tex]

Знаем, че:

[tex]\(\vec{a}\)^2=\|\vec{a}\|^2=2^2=4[/tex], или

[tex]4+2*3*\cos{\alpha }=0[/tex]

[tex]\alpha =\pm arccos{\(-\frac{2}{3}\) }[/tex]

[ВаСкоНТе]

Благодаря много, остана само 3та задачка , СТРАШНИ СТЕ , мерси мнооогооо....