Радиус на вписана в тетраедър сфера

[studentT]

Здравейте, решавам една задача, на която имам дадени
A(3,0,-1)
B(5,0,0)
C(6,-1,2)
D(2,2,-2), които образуват тетраедър и трябва да намеря радиуса на вписаната в тетраедъра сфера.

Решение:
образувамe векторите:
AB(2,0,1)
AC(3,-1,3)
AD(-1,2,-1)

V = 1/6 . | AB AC AD| = 1/6 * | 2 + 6 -1 -12| = 1/6 * |-5| = 1/6 * 5 = 5 /6

Не знам формула за намиране на радиус на вписаната сфера Може ли да ми дадете формули за намиране радиус на вписаната и описаната сфера на произволна фигура. Благодаря предварително

[ptj]

Може да разложиш обема по 4-те пирамиди до центъра на вписаната сфера. Тогава обема на всяка от тях ще се изчислява по формулата :[tex]V_i=\frac{1}{ 3} S_i.r[/tex], където [tex]r[/tex]e нейния радиус, а [tex]S_i[/tex] лицето на съответната стена.

Формулата за твоята задача е : [tex]r=\frac{V}{S_1+S_2+S_3+S_4 }=\frac{2|\vec {AB} \times \vec {AC} \times \vec {AD}|}{3(|\vec {AB} \times \vec{AC}| +|\vec {AC} \times \vec {AD}|+|\vec {AC} \times \vec {AD}|)}[/tex]

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
За описаната сфера:

За центъра на тежестта G(центъра на описаната сфера) и произволна точка О (центъра на описаната сфера) е вярно векторното равенство [tex]\frac{1}{4 } (\vec {OA}+\vec {OB}+ \vec {OC}+ \vec {OD})=\vec {OG}[/tex]. В частност когато [tex]O \equiv G[/tex] e изпълнено [tex]\vec {GA}+\vec {GB}+ \vec {GC}+ \vec {GD}=\vec 0[/tex].
От тук може да намериш координатите на т.[tex]G(\frac{x_A+x_B+x_C+x_D}{4 }; \frac{y_A+y_B+y_C+y_D}{4 };\frac{z_A+z_B+z_C+z_D}{4 })[/tex].

Другата възможност е минавайки през обема, но не съм сигурен в какво точно отношение т.G дели съответната височина (предолагам 3:1 считано от върха).

[ptj]

При редактирането съм забравил да изтрия "центъра на описаната сфера", по-точно повторението. т.О е произволна.