Площ

[pechvogel]

Не съм сигурен дали е правилния раздел, но - Намерете площта на фигура зададена чрез следното условие : A*x^2 + 2*x*y + C*y^2 ≤ 1, където A>0, 1-A*C <0. "^" - означава степен.

[vel.angelov]

Няма да променим кривата ако извършим ротация.Тогава нейното лице също няма да се промени.Да разгледаме квадратичната форма[tex]L(x,y)=Ax^{2}+2xy+Cy^{2}[/tex] .Сега образуваме симетричната матрица[tex]B_{(2,2)}[/tex] която я характеризира(тук предполагам че знаеш как става това).За нейната детерминанта се получава числото [tex]|B|= AC-1>0[/tex] от условието.Тогава квадратичната форма е от елиптичен тип.Да намерим собствените числа на матрицата B. Те са:
[tex]\lambda _{1}=\frac{A+C+\sqrt{(A-C)^{2}+4} }{ 2}[/tex]

[tex]\lambda _{2}=\frac{A+C-\sqrt{(A-C)^{2}+4} }{ 2}[/tex]
Тъй като търсим лицето на елипсата не ни интересуват формулите по които извършваме трансформация и за това ще си спестим намирането на собствените вектори на матрицата В. Квадратичната форма придобива вида:
[tex]L(X,Y)=\lambda _{1}X^{2}+\lambda _{2}Y^{2}.[/tex]
От тук съобразяваме кои са полуосите на елипсата.В сила е формулата [tex]S=\pi ab[/tex] където а и b са полуостите.
Тогава [tex]S^{2}=\pi ^{2}a^{2}b^{2}=\frac{\pi ^2}{\lambda _{1}\lambda _{2} } =\frac{\pi ^{2}}{ AC-1}[/tex]

[pechvogel]

Благодаря много, а можеш ли да ми кажеш как се образува матрицата на която правим обратна и как се намират \lambda -дите

[vel.angelov]

[tex]B=\left(
\begin{array}{rrr}
A & 1 \\
1 & C
\end{array}
\right)[/tex]
И сега решаваш характеристичното уравнение [tex]|B-\lambda E|=[/tex]0 тук Е е единичната матрица

[pechvogel]

Благодаря много за задачата.
Мача се и върху още една, да не отварям нова тема ще я напиша тук.
Непрекъсната хомогенна среда е подложена на линейна деформация, при която базисната призма ( породена от базисните вектори ), се трансформира в призмата породена от векторите \vec{p} \vec{q} \vec{r} . Където \vec{p} = (1/2)(3;1;1) , \vec{q} = (1/2)(1;2;0) , \vec{r} = (1/2)(1;0;2) . Кои са главните оси на деформация.

[stflyfisher]

Не съм сигурен дали е правилния раздел, но - Намерете площта на фигура зададена чрез следното условие : A*x^2 + 2*x*y + C*y^2 ≤ 1, където A>0, 1-A*C <0. "^" - означава степен.

Според мен ще стане и с двоен интеграл, но променливите [tex]x,y[/tex]се сменят с обобщени полярни координати.