Скаларно параметричните уравнения на трансверзалата

[niki.to4noto]

Зад.2 от изпит по АГ:

Дадени са правите

l:
x= 1 +2s
y= 1 - s
z= 1 + s

m:
-x + z
x-y + 2z + 2=0

и равнината алфа : x -y +z -6 =0 .

Да се намерят скаларно параметричните уравнения на трансверзалата на m и l перпендикулярна на равнината алфа.

Ще помоля за подробно решение ако не е проблем.
Предварително благодаря!

[Flame]

Зад.2 от изпит по АГ:
Дадени са правите:
l:[tex]\begin{cases}{c}x= 1 +2s\\y= 1 - s \\z= 1 + s\end{cases}[/tex] и m:[tex]\begin{cases}-x + z=0\\x-y + 2z + 2=0\end{cases}[/tex] и равнината [tex]\alpha : x -y +z -6 =0[/tex].
Да се намерят скаларно параметричните уравнения на трансверзалата на m и l перпендикулярна на равнината [tex]\alpha[/tex] .
Ще помоля за подробно решение ако не е проблем. Предварително благодаря!

Така, тази задача си е класическа и въпреки всичко е интересна. Ето един начин за решаване.
1) Намираме равнина [tex]\bot[/tex] на [tex]\alpha[/tex] и съдържаща l.
2) Намираме равнина [tex]\bot[/tex] на [tex]\alpha[/tex] и съдържаща m.
3) Сечението на така намерените равнини е търсената трансверзала.

1)При дадена l:[tex]\begin{cases}x= 1 +2s\\y= 1 - s \\z= 1 + s\end{cases}[/tex] - направляващия вектор на правата е:[tex]\vec{n_{l}} =(2,-1,1)[/tex]
Имаме нужда и от една точка от правата за [tex]s=0[/tex] получаваме [tex]A(1,1,1)[/tex]
При дадена равнина [tex]\alpha : x - y +z - 6 =0[/tex]- норманния вектор на равнината е [tex]\vec{n_{\alpha }}=(1,-1,1)[/tex]
Имаме една точка и два вектора, търсената равнина има нормален вектор [tex]\bot[/tex] на вече намерените два. Тогава:
[tex]\beta :\begin{cases}\in A\\|| \vec{n_{l}} \\||\vec{n_{\alpha }}\end{cases}[/tex]
[tex]\beta :\left|\begin{array}{ccc}x-1 & y-1& z-1 \\2 & -1 & 1 \\1 & -1 & 1\end{array}\right|=0\Leftrightarrow -y-z+2=0[/tex]


2)При дадена m:[tex]\begin{cases}{c}-x + z=0\\x-y + 2z + 2=0\end{cases}[/tex] - решаваме системата уравнения относно x и y.
m:[tex]\begin{cases}x=z\\y=3 z+2\end{cases}[/tex] -полагаме z=t и получаваме скаларно-параметричните уравнения на правата m.
m:[tex]\begin{cases}x=t\\y=3 t+2\\z=t\end{cases}[/tex]
- направляващия вектор на правата е:[tex]\vec{n_{m}} =(1,3,1)[/tex]
Имаме нужда и от една точка от правата за [tex]t=0[/tex] получаваме [tex]B(0,2,0)[/tex]

По вече дискутираната схема намираме [tex]\gamma[/tex] . Тогава:
[tex]\gamma :\begin{cases}{c}\in B\\|| \vec{n_{m}} \\||\vec{n_{\alpha }}\end{cases}[/tex]
[tex]\gamma :\left|\begin{array}{ccc}x-0 & y-2& z-0 \\1 & 3 & 1 \\1 & -1 & 1\end{array}\right|=0\Leftrightarrow x-z=0[/tex]


До тук намерихме две равнини, сечението на тези равнини е търсената трансверзала p.
[tex]p:\begin{cases}\in \beta \\\in \gamma \end{cases}[/tex]
[tex]p:\begin{array}{|l}-y-z+2=0\\x-z=0 \end{array}\Leftrightarrow
\begin{array}{\l}y=-z+2\\x=z \end{array}[/tex]- полагаме z=t и получаваме отговора.

[tex]p:\begin{cases}x=t\\y=-t+2\\z=t \end{cases}[/tex]

Проверка:
Полученият направляващ вектор на [tex]p - \vec{n}_{p}[/tex], трябва да е колинеарен с [tex]\vec{n}_{\alpha }[/tex] . В този случай векторите дори съвпадат [tex]\vec{n}_{p} \equiv \vec{n}_{\alpha }[/tex] .