Задача по АГ свързана с физиката

[student]

Здравейте, една задача по АЛ ме затруднява. Ще съм благодарен, ако ми помогните с нейното решение.

"Светлинен лъч се отразява от равнината [tex]\alpha : x+4y-z+5=0[/tex], падащият лъч минава през точката [tex]A(1;2;-3)[/tex], а отразеният лъч минава през точката [tex]B(-2; -1; 2)[/tex]. Да се намерят уравненията на падащия и отразения лъч."

Ясно ми е от физиката, че ъгълът на падане е равен на ъгъла на отрязяване, но само до тук

Предварително Ви благодаря.

[kerry]

Физичните явления падане и "отрязяване" се случват в равнината 17x-2y+9z+14=0, която е перпендикулярна на [tex]\alpha[/tex] и съдържа точките А и В. Като се знае това по-лесно ще намерим точката на отразяване.

[kerry]

Има и по-лесен начин.
Намираме координатите на симетричните точки A' и B' спрямо равнината. Тогава лесно намираме уравненията на правите AB' и A'B.

[student]

Физичните явления падане и "отрязяване" се случват в равнината 17x-2y+9z+14=0, която е перпендикулярна на [tex]\alpha[/tex] и съдържа точките А и В. Като се знае това по-лесно ще намерим точката на отразяване.

Намирам общата права на равнините [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta \bot \alpha[/tex].

[tex]\beta \bot \alpha =m[/tex], върху която лежи точката [tex]C[/tex] на отразяване т.е.

[tex]\begin{tabular}{|l}x+4y-z+5=0\\17x-2y+9z+14=0\end{tabular}<=>[/tex]

[tex]m:\begin{tabular}{|l}x= t\\y=-\frac{50}{7}-\frac{26}{7}.t \\z=\frac{165}{7}-\frac{97}{7}.t\end{tabular}<=>[/tex]

[tex]m: \frac{x-0}{1}=\frac{y+\frac{50}{7}}{-\frac{26}{7}}=\frac{z-\frac{165}{7}}{-\frac{97}{7}}[/tex]

[tex]\vec{m}(1;-\frac{26}{7};-\frac{97}{7})[/tex]

[tex]C \in m=>C(t;-\frac{50}{7}-\frac{26}{7}.t; \frac{165}{7}-\frac{97}{7}.t)[/tex]

и след това забивам. По-точно имам идея да намеря координатите на

[tex]\vec{AC}, \vec{BC}[/tex] и тъй-като ъгълa на отразяване е равен на ъгълa на падане т.е.

[tex]\angle (\vec{m},\vec{AC})=\angle (\vec{m},\vec{BC}) \in [0; \frac{\pi}{2}]=>[/tex]

[tex]cos(\angle (\vec{m},\vec{AC}))=cos(\angle (\vec{m},\vec{BC}))<=>[/tex]

[tex]\frac{\vec{m}.\vec{AC}}{|\vec{m}|.|\vec{AC}|}= \frac{\vec{m}.\vec{BC}}{|\vec{m}|.|\vec{BC}|}[/tex]

[kerry]

Правата АА' е перпендикулярна на равнината и минава през т.А
[tex]AA' : x=t+1;y=4t+2;z=-t-3[/tex]

При t=0 сме в т.А, при t=-17/18 правата пресича равнината (това е проекцията на А в равнината), при t=-17/9 намираме симетричната т.A'(-8/9, -50/9, -10/9)

Като знаем точките A' и B намираме отразения лъч [tex]A'B: \frac {x+2}{10}= \frac {y+1}{-41}=\frac {z-2}{-8}[/tex]


Правата BB' е перпендикулярна на равнината и минава през т.B
[tex]BB' : x=t-2;y=4t-1;z=-t+2[/tex]

При t=0 сме в т.B, при t=1/6 правата пресича равнината (това е проекцията на B в равнината), при t=1/3 намираме симетричната т.B'(-5/3, 1/3, 5/3)

Като знаем точките A и B' намираме падащия лъч [tex]AB': \frac {x-1}{-8}= \frac {y-2}{-5}=\frac {z+3}{14}[/tex]