Уравнения на прави

[lanister]

Да се намерят уравненията на страните на триъг., ако са дадени един от върховете му B(2;-1), уравненията на височината h: 3x-4y+27=0 и ъглополовяща l: x+2y-5=0, прекарани през различни върхове.


Ъглополовящата и височината ги прекарвам съответно през А и през C, намирам уравнението на AB и кординатите на А и до там

[0xdeadbeef]

Правата BC има общо у-е : [tex]BC : a_1 x + b_1 y + c_1 = 0[/tex], като [tex]a^2_{1} + b^2_{1} \not= 0[/tex].

[tex]\left.\begin{eqnarray} \vec b_{c} (-b_1, a_1) || BC\\\vec h_{c} (4,3) || h\end{eqnarray}\right\} \Rightarrow (\vec b_{c}, \vec h_{c}) = 0 \Leftrightarrow 3a_1 - 4b_1 = 0 \Leftrightarrow b = \frac{3}{4}a \small(1)[/tex].

[tex]B \in BC[/tex], значи е изпълнено [tex]2a_1 -b_1 + c = 0 \small(2)[/tex].

От [tex]\small(1)[/tex] и [tex]\small(2)[/tex], изразяваме [tex]BC : 4a_1 x + 3a_1 y -5 a_1 = 0 \Leftrightarrow \fbox{BC : 4 x + 3 y -5 = 0}[/tex], (понеже [tex]a^2_{1} + b^2_{1} \not= 0[/tex]).

Правата AC има общо у-е [tex]a_2 x + b_2 y + c_2 = 0[/tex], като [tex]a^2_{2} + b^2_{2} \not= 0[/tex].

[tex]\left.\begin{eqnarray} \vec l_a (-2, 1) || l\\\vec b_{a} (-b_2,a_2) || AC\end{eqnarray}\right\} \Rightarrow
cos\theta = \frac{(\vec l_a, \vec b_a)}{|\vec l_a| | \vec b_a|} \small(3)[/tex]. От друга страна [tex]\cos{\theta} = \frac{(\vec{l_a}, \vec {b_{c'}})}{|\vec{l_a}| |\vec {b_c'}|} = \frac{2}{\sqrt{5}}\small (4)[/tex],

където векторът [tex]\vec {b_{c'}}(-3,4) || BC[/tex]

Като приравним [tex]\small (3)[/tex] и [tex]\small (4)[/tex], имаме [tex]a_2(3a_2 -4b_2) = 0[/tex], с решения [tex]a_2 = 0\cup a_2 = \frac{4}{3}b_2[/tex].

точката [tex]C[/tex] има координати [tex](-1,3)[/tex] ([tex]C = l\cap BC[/tex]), и понеже [tex]C \in AC[/tex], то е изпълнено:

[tex]3b_2 + c_2 = a_2 \small(*)[/tex], при [tex]a_2 = 0[/tex], от [tex]\small(*)[/tex] получваме :

[tex]c_2 = - 3b_2[/tex] или [tex]AC : b_2y - 3b_2 = 0 \Leftrightarrow \fbox{AC : y - 3 = 0}[/tex] (понеже [tex]a^2_{2} + b^2_{2} \not= 0[/tex])

Аналогично за [tex]a_2 = \frac{4}{3}b_2[/tex], получаваме [tex]AC \equiv BC[/tex], което не ни върши работа.

Нека т. А има координати [tex](x_0, y_0)[/tex], понеже [tex]A \in AC[/tex], то е изпълнено [tex]0x_0 + y_0 - 3 = 0[/tex], от където [tex]y_0 = 3[/tex].

От друга страна [tex]A \in h[/tex], значи е изпълнено [tex]3x_0 -4y_0 + 27 = 3x_0 +15 =0[/tex], оттук [tex]x_0 = -5[/tex].

[tex]A\in AB; B\in AB \Rightarrow \fbox{AB: 4x + 7y - 1 = 0}[/tex]