Директриса на парабола

[uchenik75]

Здравейте, имам следната задача: да се намери директрисата и фокусът на параболата y=[tex]x^2[/tex].
Въпросите ми са следните: относно параболата, тя трябва да лежи в 1-ви и 2-ри квадрант? Има ли някакви формули, с които се намират директрисата и фокусът и каква е ролята на директрисата?
Благодаря предварително

[Knowledge Greedy]

Задача: да се намери директрисата и фокусът на параболата [tex]y=x^2[/tex].

Предварителни бележки - определяне на парабола
Дадени са точка [tex]F[/tex] в равнината и права [tex]g[/tex] в същата равнина.
Бележим с [tex]d(M;g)[/tex] , разстоянието от точка [tex]M[/tex] до правата [tex]g[/tex].
Парабола се нарича множеството [tex]\pi[/tex] от всички точки [tex]M[/tex] в равнината,
за които разстоянието [tex]MF=d(M;g)[/tex] [tex]\,\ (\ast)[/tex]
Ето това множество - на чертежа от всички червени точки

Дефиниране на парабола.PNG (7.56 KiB) Прегледано 1804 пъти

Нека [tex]M(x ;\,\ y)[/tex] е една от тях.
Нека още [tex]F(0; \,\ d)[/tex],[tex]\,\ d>0[/tex] и правата [tex]g[/tex] е с уравнение [tex]y=-d[/tex]. Под точката [tex]M(x ;\,\ y)[/tex] е точката [tex]N(x ;\,\ -d)[/tex] (ортогонална проекция на [tex]M[/tex] върху правата [tex]g \,\[/tex]).
Ясно е, че началото [tex]O[/tex] на координатната система удовлетворява условието [tex]\,\ (\ast)[/tex]
[tex]OF=OD[/tex] - значи точката [tex]O \in \pi[/tex]. Наричаме я връх на параболата [tex]\pi[/tex].

Да напишем условието [tex]\,\ (\ast)[/tex] [tex]:\,\ MF=MN[/tex]
[tex]\sqrt{x^2+(y-d)^2}=y+d[/tex]

Повдигаме на втора степен
[tex]x^2+(y-d)^2=(y+d)^2[/tex]

Разкриваме скобите и опростяваме [tex]4dy=x^2[/tex]

Следователно [tex]y=\frac{1}{ 4d}x^2[/tex]

Връщаме се към условието на задачата. Явно трябва [tex]d=\frac{1}{4}[/tex]
И записваме отговора:
Точката [tex]F\left ( 0;\,\ \frac{1}{4 } \right )[/tex] e фокус на параболата [tex]\pi: \,\ y=x^2[/tex]
Правата [tex]g[/tex] е с уравнение [tex]y=-\frac{1}{4 }[/tex] е директриса на параболата.