Една система от вектори е ортогонална => линейно независима

[VM1]

Помощ за доказателство:
Ако една система от вектори е ортогонална,то тя е линейно независима

[ganka simeonova]

Два вектора са ортогонални, когато скаларното им произведение е 0.
Една система от вектори [tex]a_1, a_2, ..., a_n[/tex]
[tex]1) a_i\ne 0; (a_i; a_j)=0[/tex]
[tex](a_i, a_j)=0[/tex] за всяко [tex]i, j[/tex]
Нека имаме такава система и доп, че е линейно зависима. Тогава ще съществуват числа [tex]\lambda_i; i=1,...,n[/tex], не непременно всичките равни на 0, така че:
[tex]\lambda_1a_1+..+\lambda_na_n=0[/tex]. Образуваме скаларното произведение
[tex](\lambda_1a_1+..+\lambda_na_n, a_1)=\lambda _1(a_1, a_1)+\lambda _2(a_2; a_1)+....+\lambda _n(a_n; a_1)=0[/tex]
[tex](a_1, a_j)=0; i\ne j=>\lambda _1(a_1; a_1)=0; x_1\ne 0=>\lambda _1=0[/tex]
По аналогичен начин доказваме, че всичкии останали ламбди са 0=> системата е лин. независима.

[VM1]

много ти благодаря