Интеграли

[neznaiko]

Задачи

IMG_20140418_121457.jpg (494.49 KiB) Прегледано 625 пъти

Задачи

IMG_20140418_121457.jpg (494.49 KiB) Прегледано 625 пъти

Добър ден на всички съмишленици, математици и не до там такива.
Имам проблем с тип задачи интеграли. Не знам дали са сложни, прости и т.н. , но знам че 2 дена се опитвах да ги реша.
Също така прикачам моето "решение" .
Ако има някой съпричастен, бих желал да ми помогне. Благодаря предварително.

[Добромир Глухаров]

И двата интеграла са от ирационална функция от вида:

[tex]\int R\(x,\sqrt{ax^2+bx+c}\)dx[/tex]

Леонард Ойлер е предложил да се решават чрез субституция, като разглежда три случая:

1. Първа субституция на Ойлер [tex](a>0)[/tex]: [tex]\sqrt{ax^2+bx+c}=t+\sqrt{a}x[/tex]

2. Втора субституция на Ойлер (корените на [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] са реални и различни ([tex]D=b^2-4ac>0[/tex]): [tex]\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-x_1)[/tex], където [tex]x_1[/tex] може да бъде всеки от двата корена на [tex]ax^2+bx+c=0[/tex]

3. Трета субституция на Ойлер [tex](c>0)[/tex]: [tex]\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{c}+xt[/tex]

И в двата интеграла от задачата квадратният тричлен под корена има реални и различни нули, следователно можем да ги решим с Втора субституция. Но за първия интеграл това е твърде неудобно, тъй като нулите са ирационални (дискриминантата не е точен квадрат). Първият интеграл може да се реши с Трета субституция [tex](9>0)[/tex], а вторият - с Първа [tex](4>0)[/tex].

[tex]\int\frac{dx}{x\sqrt{-x^2+2x+9}}[/tex]

[tex]\sqrt{-x^2+2x+9}=xt+\sqrt{9}\|\^2[/tex]

[tex]-x^2+2x+9=(xt+3)^2\Rightarrow x=\frac{2-6t}{1+t^2}[/tex]

[tex]\sqrt{-x^2+2x+9}=\frac{2-6t}{1+t^2}\cdot t+3=\frac{-3t^2+2t+3}{1+t^2}[/tex]

[tex]dx=\(\frac{2-6t}{1+t^2}\)'_x\cdot dt=2\frac{3t^2-2t-3}{\(1+t^2\)^2}dt[/tex]

[tex]t=\frac{\sqrt{-x^2+2x+9}-3}{x}[/tex]

[tex]\int\frac{dx}{x\sqrt{-x^2+2x+9}}=\int 2\cdot \frac{3t^2-2t-3}{\(1+t^2\)^2\cdot\frac{2-6t}{1+t^2}\cdot\frac{-3t^2+2t+3}{1+t^2}}dt=\int\frac{dt}{3t-1}=\\=\frac{1}{3}\int\frac{d(3t-1)}{3t-1}=\frac{1}{3}ln\|3t-1\|=\frac{1}{3}ln\|3\cdot\frac{\sqrt{-x^2+2x+9}-3}{x}-1\|+C=ln\sqrt[3]{\|\frac{3\sqrt{-x^2+2x+9}-x-9}{x}\|}+C[/tex]


[tex]\int\frac{dx}{x\sqrt{4x^2+x-5}}[/tex]

[tex]\sqrt{4x^2+x-5}=t+\sqrt{4}.x=t+2x\|\^2[/tex]

[tex]4x^2+x-5=4x^2+4xt+t^2\Rightarrow x=\frac{5+t^2}{1-4t}[/tex]

[tex]dx=2\cdot \frac{10+t-2t^2}{\(1-4t\)^2}dt[/tex]

[tex]\sqrt{4x^2+x-5}=t+2\cdot\frac{5+t^2}{1-4t}=\frac{10+t-2t^2}{1-4t}[/tex]

[tex]t=\sqrt{4x^2+x-5}-2x[/tex]

[tex]\int\frac{dx}{x\sqrt{4x^2+x-5}}=\cdots=2\int\frac{dt}{5+t^2}=\frac{2}{\sqrt{5}}arctg\frac{t}{\sqrt{5}}+C=\frac{2}{\sqrt{5}}arctg\frac{\sqrt{4x^2+x-5}-2x}{\sqrt{5}}+C[/tex]

[neznaiko]

Благодаря много , не че разбрах нещо от написаното, но поне имам база да разглеждам.
Благодаря отново.

[Добромир Глухаров]

При решаването на първия интеграл съм допуснал грешка в записа при определянето на [tex]dx[/tex]:

[tex]dx=\(\frac{2-6t}{1+t^2}\)'_t\cdot dt=2\frac{3t^2-2t-3}{\(1+t^2\)^2}dt[/tex]

[Гост]

Благодаря много , не че разбрах нещо от написаното, но поне имам база да разглеждам.
Благодаря отново.

Ясно е че нищо няма да разбереш. Щом за тебе [tex]\frac{a}{b+c+d}=\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{a}{d}[/tex], ти си някъде за 5 клас, а не за студент дето ще решава интеграли.