Интеграл с корен 1-x^2

[benji]

[tex]\int_{ }{} x \sqrt{1-x^2}dx[/tex] нуждая се само от някакво упътване

[Anubis]

[tex]\int{x\sqrt{1-x^2}} \operatorname{d}x = \int{\sqrt{1-x^2}} \operatorname{d}(\frac{x^2}{2}) = -\frac{1}{2} \int{\sqrt{1-x^2}} \operatorname{d}(-x^2) = -\frac{1}{2} \int{\sqrt{1-x^2}} \operatorname{d}(1-x^2)[/tex]

[tex]1-x^2 = t \Rightarrow -\frac{1}{2} \int{\sqrt{t}} \operatorname{d}t = -\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.t^{\frac{3}{2}} = -\frac{1}{3}.t^{\frac{3}{2}} = -\frac{1}{3}.(1-x^2)^{\frac{3}{2}}[/tex]

[0xdeadbeef]

Полагаме [tex]x = \sin\theta \Rightarrow dx = \cos\theta d \theta[/tex].

[tex]\int \sin\theta \cos^{2} \theta d \theta = - \int \cos^{2}\theta d \cos\theta = -\frac{1}{3} \cos^{3} \theta + C[/tex]

като се върнем към полагането имаме [tex]\int x\sqrt{1-x^2} dx = -\frac{1}{3}\sqrt{(1-x^2)^3} + C[/tex].