Да се намери !

[Гост]

((\sqrt{3}+i)/(-5+5i) )^25=?

Ако може да я решите подробно.. и да направите други подобни примери и да ги решите.. Да ги разбера, че изпита наближава.. Мерси предварително !

[ammornil]

Според мен ще се получи нещо такова:

[tex]Z=\frac{\sqrt{3}+i}{(-5+5i)^{^{25}}}=?[/tex]
Това е частно на две комплексни числа, записани в алгебрична форма. Нека намерим най-напред експоненциалния вид на всяко от тях и след това да заместим в дадения израз.

[tex]A=\sqrt{3}+i \\
\hspace{12} R_A=\sqrt{3}, \hspace{12} I_A=1; \\
\hspace{12} |A|=\sqrt{R_A^2+I_A^2}=2, \hspace{12}
\phi _A=arctg(\frac{I_A}{R_A})=arctg(\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{\pi}{6} \hspace{4} [rad] \\
A=|A|.e^{^{i\phi}}=2.e^{^{i.\frac{\pi}{6}}} \\
\vspace{32}\\
B=-5+5i \\
\hspace{12} R_B=-5, \hspace{12} I_A=5; \\
\hspace{12} |B|=\sqrt{R_B^2+I_B^2}=5\sqrt{2}, \hspace{12}
\phi _B=arctg(\frac{I_B}{R_B})=arctg(\frac{5}{-5})=-\frac{\pi}{4} \hspace{4} [rad] \\
B=|B|.e^{^{i\phi}}=5\sqrt{2}.e^{^{-i.\frac{\pi}{4}}} \\
\vspace{32} \\
Z=\frac{A}{B^25}=\frac{2.e^{i.\frac{\pi}{6}}}{(5\sqrt{2}.e^{-i.\frac{\pi}{4}})^{25}}=\frac{2.e^{i.\frac{\pi}{6}}}{5^{^{25}}.2^{12}.\sqrt{2}.e^{-i.\frac{25\pi}{4}}}=\frac{1}{5^{^{25}}.2^{11}.\sqrt{2}}.e^{^{i(\frac{\pi}{6}+\frac{25\pi}{4})}}=\frac{1}{5^{^{25}}.2^{11}.\sqrt{2}}.e^{^{i\frac{77\pi}{6}}}\\
Z=\frac{1}{5^{^{25}}.2^{11}.\sqrt{2}}.e^{^{i(12\pi+\frac{5\pi}{6})}}[/tex]

Това комплексно число може да се запише и така:
[tex]Z=\frac{cos(12\pi+\frac{5\pi}{6})}{5^{^{25}}.2^{11}.\sqrt{2}}+i.\frac{sin(12\pi+\frac{5\pi}{6})}{5^{^{25}}.2^{11}.\sqrt{2}}=\frac{cos(\frac{5\pi}{6})}{5^{^{25}}.2^{11}.\sqrt{2}}+i.\frac{sin(\frac{5\pi}{6})}{5^{^{25}}.2^{11}.\sqrt{2}}[/tex]

[matst]

аргументът на числото [tex]B=-5+5i[/tex] е [tex]3\pi/4[/tex] и не е правилно [tex]-\pi/4[/tex].

формулата с arctg е в сила само при положителна реална част

[ammornil]

Да, благодаря. Моя грешка. Понеже cos(fi)<0, sin(fi)>0 => трябва да е втори квадрант, оттам ъгълът следва да е 3π/4 .

Формулата с аркустангенс е валидна за всяко комплексно число, с изключение ако реалната част е 0! Това е метод за трансформация между различни записи.