Умножение на комплексни числа

[Гост]

Ако имаме две комплексни числа z1 = (x1, y1) и z2 = (x2, y2) то:

z1.z2 = (x1, y1).(x2, y2) = (x1.x2 - y1.y2, x1.y2 + y1.x2)

Защо се умножава по този начин,няма никаква логика според мен?

[Гост]

Що бе? Гледай сeга
[tex]z_1 = a + ib, z_2 = c + id[/tex]

[tex]z_1z_2 = (a+ib)(c+id) = ac +iad + ibc + i^2bd = (ac -bd) + i(ad + bc)[/tex]

[Гост]

Така е ясно вече,ама пак не разбирам откъде се взе тоя минус bd като е плюс и къде остава [tex]i^{2 }[/tex]?

[Гост]

[tex]i^2 = (\sqrt{-1})^2 = - 1[/tex]

[Гост]

Мерси,ама пак не разбрах.Тва от къде следва за пръв път виждам такова нещо от [tex]i^{2}[/tex] да стане корен от -1 на квадрат.Сигурно е някаква формула.

[Гост]

Мисли си го като магия. Сега сериозно, по дефиниция [tex]i = \sqrt{-1}[/tex] - имагинерната единица. Съветвам те да прочетеш поне нещо за комплексните числа, не само да се учиш на операции с тях.

Поздрави и бира.

[Гост]

Идеята на този вид умножение е, че по този начин множеството от наредените двойки реални числа (комплексните числа) става поле, в смисъл че можеш да умножаваш, събираш, вадиш и делиш две наредени двойки реални числа, така както това може да се прави с реалните числа. При това реалните числа могат да се вложат като подполе с изображението x->(x, 0). Идеята е, че в това поле уравнението x^2+1=0 ще има решение, което значи, че можеш да взимаш корен квадратен от -1. И това е една от възможните дефиниции на числото i, както колегата по-горе е посочил. Другата и по-точна теоретико-множествена дефиниция е i=(0, 1). Тогава всяка наредена двойка от реални числа (a, b), с помощта на въведеното събиране и умножение на комплексни числа можем да запишем във вида (а, 0)+(0, 1)*(b, 0), което е равносилно на a+ib. Геометрично погледнато наредените двойки реални числа (комплексните числа) могат да се отъждествят и с точките от равнината, (те образуват векторно пространство).
Опитай се чрез формулата за умножение на комплексни числа, (разглеждани като наредени двойки реални числа) да умножиш двойката (0, 1) със себе си и ще получиш двойката (-1, 0), която всъщност представлява числото -1. т. е. получаваш равенството i^2=-1.

[Гост]

Благодаря и на двамата за обясненията. Наистина бях прегледал материала колкото да не е без хич,защото ми се струваха прекалено прости нещата.