Питанка по задача от учебник

[Гост]

Здравейте,разглеждайки учебника на Архимед ПП 12 клас открих една задача.Въпросът ми е следният : Как така на страница 201 ( при решението на задача 4) заместват x=1 след като те са използвали тъждеството (4) от страница 200 и са го разделили с [tex]x-1[/tex] т.е. смятаме,че [tex]x\ne 1[/tex] ? Много ми е странно.Пуснах в този раздел темата,защото все пак снимките може да помогнат на някой занимаващ се с висша математика,показвайки му този метод на решаване.

[ammornil]

Понеже се освобождават от множителя (х-1) чрез деление, като допускат че той не е равен на нула, после трябва да проверят дали х=1 не е решение. В противен случай биха изпуснали това решение.

[Гост]

Говоря за това,че след като са разделили на [tex]x-1[/tex] нататък в задачата трябва да се счита,че [tex]x\ne 1[/tex] ,а после пък полагат [tex]x=1[/tex]. Така все едно се получава,че в началото са разделили на 0 ???

[addicted]

Някой няма ли да помогне?Това решение съм го виждал и в една книга на Иван Тонов - " Комплексни числа",но и аз не разбирам защо е така това нещо с деленето .

[Гост1]

Въпросът ви е уместен.
Имаме два полинома, за които знаем, че са равни за всички стойности на аргумента, освен за x=1(за там не знаем). Оказва се, че и там са равни. Причината, е че тези полиноми са от четвърта степен, а съвпадат при 5(всъщност при почти всички реални, но 5 са ни достатъчни) стойности на аргумента. Значи двата полинома съвпадат. Това означава, че са равни и при x=1.
Общото твърдение е - имаме два полинома от n-та степен (най-общо с комплексни коефициенти, в частност може да са реални), които съвпадат при n+1 стойности на аргумента. Тогава двата полинома съвпадат при всички стойности на аргумента(или по-просто двата полинома съвпадат).
Не съм сигурен, че има елементарно доказателство на този факт (дори над реалните полиноми, ако това би направило задачата по-проста) (под "елементарно" разбирам използващо знания от училище).
Все пак това твърдение е доста силно за нашата задача. Тук имаме два полинома, които съвпадат не за 4, а за всички без една, стойности на аргумента. Така може просто да използваме съображения за непрекъснатост и да заключим, че съвпадат и при x=1.
Тази възможност за полагане се използва често и при търсене на коефициенти при рационални изрази. Там може да имаме x-1 в знаменател и след като се освободим от знаменателя, за да са по-лесни сметките, да положим x=1.
Действително, добре си постъпил, като си публикувал темата тук. Аз по принцип се "занимавам" с Висша Математика, но не знаех този метод.

[inveidar]

По моето скромно мнение доказателството на задачата е грешно отвсякъде, ако говорим за училищна математика. Необяснимо за ученик! Възможно е и да бъркам!