Проверка за аналитичност на ф-та (e^z)/z - къде бъркам ?

[exvitermini]

Здравейте, от известно време се боря със задачата от прикачената картинка (използвах Maple). На същата фигура съм
изложил и преобразуванията си и сметките.

zapis.jpg (218.55 KiB) Прегледано 576 пъти

Както се вижда оградените събираеми не съвпадат за двойките производни
и условията на Коши-Риман не са удовлетворени (а според учебника ми фукнцията е аналитична). Някъде в пресмятанията ли греша (аз лично на първо четене не успях да открия грешка) ? Съществува ли възможно преобразувание на "хартисалите" изрази, така че да се приравнят ? Или пък трябва да реша у-та на Коши-Риман, за да видя при кои х и у (респективно за кои z) ф-та е аналитична ? Последната идея обаче не кореспондира с отговора в учебника - там пише, че функцията е холоморфна за всяко z , освен 0 (това си е очевидно от условието).
П.П. - не гарантирам, че отговорът в учебника е верен, разбира се. Намирал съм грешки в него.
За разнообразие тръгнах и по друг път - пробвах да премина в полярни координати, но и там ударих на камък (отново част от получените събираеми не си пасваха на пръв поглед, когато заместих в полярните уравнения на Коши-Риман).
Ще съм благодарен на всяка помощ .

[kmitov]

Не е ли по-лесно да се види че [tex]e^z/z=1/z+1+\frac{z}{2!}+\frac{z^2}{3!}+\ldots[/tex],
която е аналитична в цялата равнина без [tex]z=0[/tex].

Да добавя, функцията е аналитична за [tex]\mathbb{C}/\ 0[/tex], ако има производна за всяко [tex]z\ne 0[/tex].

[grav]

Имаш няколко грешки. В израза за u(x,y) имаш сума, когато намираш производната си написал разлика. Също така втория ограден в червено израз е грешен. Написал си cosy, а трябва да е siny. Тогава първото уравнение на Коши Риман е вярно. Предполагам, че имаш подобни грешки и при другото, но ме домързя да го преглеждам.

[exvitermini]

По-лесно е, стига някой да се е сетил да прочете за сходимост и диференцируемост на редове .
Благодаря за отговора. Ако изникне нещо неясно от материята, ще пиша тук.

до grav: напълно си прав. Направил съм груб пропуск. Сега го пробвах - излиза си. Мерси,че ми насочи вниманието.

[exvitermini]

Въпрос: произведението на две аналитични функции също ли е аналитична ф-я ?