Коренуване на комплексно число

[tedo_kinta]

Задачата е следната :
[tex]z=3-4i[/tex]
[tex]\sqrt{z}=?[/tex]
Нека [tex]\sqrt{z}=\sqrt{s-4i}=x+iy \Rightarrow (x+iy)^2 = 3 - 4i[/tex] или
[tex]x^2 + y^2 + 2xy = 3-4i[/tex] при което съставям системата:
[tex]\begin{cases}x^2-y^2=3\\2xy=-4\end{cases}[/tex]
деля 2рото ур. на 2 и изразявам x при което получавам [tex]x=- \frac {2}{y}[/tex]
Представям 1вото ур. като [tex](x-y)(x+y)=3[/tex]
Замествам: [tex](-\frac{2}{y}-y)(-\frac{2}{y}+y)=3[/tex]
Разглеждам по отделно [tex]-\frac{2}{y}-y=3[/tex] и [tex]-\frac{2}{y}-y=3[/tex]
При което се освобождавам от знаменател и ги свеждам до
[tex]-y^2-3y+2=0[/tex] и [tex]y^2-3y+2=0[/tex]
При което за 1вото получвам [tex]D=17[/tex], а за 2рото [tex]D =1[/tex]
получавам [tex]y_{12}=\frac{-3\pm \sqrt{17}}{2}[/tex] и [tex]y_{34} = \frac{ 3 \pm 1}{2}[/tex]
a решението е:
[tex]\sqrt{3-4i}=\pm (2-i)[/tex]
т.е. [tex]y_1=1; y_2 = -1[/tex]
Каде бъркам в решението на системата???

[ptj]

[tex](-\frac{2}{y}-y)(-\frac{2}{y}+y)=3[/tex] ( умножаваме с [tex]y^2\ne 0[/tex])

[tex]y^4+3y^2-4=0[/tex]

[tex](y^2+4)(y^2-1)[/tex]

[tex]y=\pm 1[/tex] или [tex]y=\pm 2i[/tex]
...

Отговорите естесвено са само 2 : [tex](2-i)[/tex] и [tex](-2+i)[/tex]


П.П.
По-принцип умножение,деление, коренуване и повдигане на степен при комплексни числа са по-лесни при използване на експоненциалната форма за представяне на комплексни числа (или формулите на Моавър).

http://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D0%BE_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE

[Knowledge Greedy]

tedo_kinta! Как ти хрумна да правиш това, което съм почервенил в твоето решение?!

... [tex](-\frac{2}{y}-y)(-\frac{2}{y}+y)=3[/tex]
Разглеждам по отделно [tex]-\frac{2}{y}-y=3[/tex] и [tex]-\frac{2}{y}-y=3[/tex]
...Къде бъркам в решението на системата???

Защо не заместиш например [tex]-\frac{2}{y}-y=9[/tex] и [tex]-\frac{2}{y}-y=\frac{1}{3}[/tex]
Аз пък предпочитам дори само [tex]-\frac{2}{y}-y=6[/tex] и [tex]-\frac{2}{y}-y=\frac{1}{2}[/tex]

А какво да кажем за хубавия случай [tex]-\frac{2}{y}-y=-\frac{1}{12}[/tex] и [tex]-\frac{2}{y}-y=-36[/tex] ...