комплексни числа

[Гост]

(-1-i)^33
стигам до [[tex]\sqrt{2}[/tex](cos5\pi/4+isin5\pi/4)]^33 и не се сещам как да продължа и дали до тук е правилна

[Гост]

По - нататък формула на Моавр.

[KOPMOPAH]

Ще разпишем малко по подробно как да се намери $(-1-i)^{33}$.
Използваме формулата на Моавър $z=re^{iφ}$, $z^n=r^ne^{inφ}$ или в тригонометричен вид $z=r(\cos \varphi+i \sin \varphi)$, $z^n=r^n(\cos n\varphi+i \sin n\varphi)$
Модулът $r$ се намира по формулата $r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt 2$, коефициентите пред реалната и имагинерната част са отрицателни, значи числото е в трети квадрант и аргументът $\varphi=\frac{5\pi}{4}$
Щом си получил $(\sqrt 2(\cos\frac{5\pi}{4}+ i \sin\frac{5\pi}{4})^{33}$ дотук си смятал правилно. Остава по-лесната част - да използваш $z^n=r^n(\cos n\varphi+i \sin n\varphi)$ и да получиш $(\sqrt 2)^{33}(\cos\frac{33.5\pi}{4}+ i \sin\frac{33.5\pi}{4})=2^{16}\sqrt 2(\cos\frac{165\pi}{4}+ i \sin\frac{165\pi}{4})=2^{16}\sqrt 2(\cos(40\pi+\frac{5\pi}{4})+ i \sin(40\pi+\frac{5\pi}{4}))=2^{16}\sqrt 2(\cos \frac{5\pi}{4}+ i \sin \frac{5\pi}{4})$, но изразът след $2^{16}$ е първоначалният, следователно окончателно получаваме $(-1-i)^{33}=2^{16}(-1-i)$

[Knowledge Greedy]

Част от задачите от този вид могат да бъдат решавани и чисто алгебрично така.
[tex]-1-i[/tex] заедно със спрегнатото му [tex]-1+i[/tex], са корени на уравнението [tex]z^2+2z+2=0[/tex]
(получаваме го примерно с формулите на Виет).
Оттук [tex]z^2=-2(1+z)[/tex]
Това е вярно за всеки от корените, значи [tex]z_1^2=-2(1+z_1)[/tex]
Т.е. [tex](-1-i)^2=-2\left [ 1+(-1-i) \right ]=2i[/tex]

Интересуваме се от [tex](-1-i)^{33}[/tex]
Ще пресметнем първо [tex](-1-i)^{32}=(2i)^{16}=2^{16}[/tex]
- поради периодичността (период 4) на степените на [tex]i[/tex]
Следователно [tex](-1-i)^{33}=-2^{16}(1+i)[/tex]