доказване на равенство

[Гост]

някой може ли да ми реши 0.12 а и б, но с комплексни числа а не с индукция

[Гост]

Някой може ли да ти реши 0.12 а и б, но с комплексни числа а не с индукция и без да си изкриви врата?

[KOPMOPAH]

С леко изкривен врат успях да реша задачата така:
Както много добре знаем
$\cos x+ \sin x=e^{ix}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$
$\cos 2x+ \sin 2x=e^{i2x}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$
$\cdots \ \cdots$
$\cos nx+ \sin nx=e^{inx}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (n)$
Събираме равенствата $(1)+(2)+\cdots+(n)$ и получаваме
$\cos x+cos 2x+\cdots+\cos nx+i(\sin x+\sin 2x+\cdots+\sin nx)=e^{ix}+e^{i2x}+\cdots+e^{inx}$
Идеята е, че $Re \left(\sum_{k=1}^{n }e^{ikx}\right)= \sum_{k=1}^{n }\cos {kx}$, а $Im \left(\sum_{k=1}^{n }e^{ikx}\right)= \sum_{k=1}^{n }\sin {kx}$
Дясната страна на равенството е една геометрична прогресия и нейната сума е $\frac{e^{ix}(1-e^{inx})}{1-e^{ix}}$
За да се освободим от комплесния знаменател, умножаваме горе и долу с комплексно спрегнатото на знаменателя число и получаваме
$\frac{e^{ix}(1-e^{inx})( 1-e^{-ix})}{(1-e^{ix})( 1-e^{-ix})}=$
Знаменателят се преобразува така:
$(1-e^{ix})( 1-e^{-ix})=1-e^{ix}-e^{-ix}+1=2-\cos x-\cancel{i \sin x} - \cos x + \cancel{i \sin x}=2(1-\cos x)=2.2\sin^2\frac x2=4\sin^2\frac x2$
Вече няма комплексни числа в знаменателя, да обърнем внимание на числителя
$e^{ix}(1-e^{inx})( 1-e^{-ix})=(1-e^{inx})(e^{ix}-1)=e^{ix}-e^{i(n+1)x}+e^{inx}-1=\\
=\cos x+i \sin x- \cos(n+1)x-i \sin(n+1)x+\cos nx+i \sin nx -1=\\
=\cos x - \cos (n+1)x+cos nx-1+i(\sin x-\sin(n+1)x+\sin nx)=\\
=\cos x + \cos nx -(1+cos (n+1)x+i \left(2 \sin \frac{n+1}2x \cos \frac {n-1}2x-2\sin \frac{n+1}2x \cos \frac {n+1}2x \right)=\\
=2 \cos \frac{n+1}2x \cos \frac {n-1}2x-2\cos^2 \frac{n+1}2x+i\left(2 \sin \frac{n+1}2x \cos \frac {n-1}2x-2\sin \frac{n+1}2x \cos \frac {n+1}2x\right)=\\
=2\cos \frac{n+1}2x\left(\cos \frac {n-1}2x-\cos \frac{n+1}2x\right)+i.2\sin \frac{n+1}2x\left(\cos \frac {n-1}2x-\cos \frac{n+1}2x\right)=\\
=2\cos \frac{n+1}2x.2\sin \frac {nx}2 \sin \frac x2+i.2\sin \frac{n+1}2x.2\sin \frac {nx}2 \sin \frac x2=\\
=4\sin \frac {nx}2 \sin \frac x2 \left(\cos \frac{n+1}2x+i\sin \frac{n+1}2x\right)$
Като разделим числителя на знаменателя, получаваме:
$\frac {4\sin \frac {nx}2 \sin \frac x2 \left(\cos \frac{n+1}2x+i\sin \frac{n+1}2x\right)}{4\sin^2\frac x2}=\frac {\cancel{4}\sin \frac {nx}2 \cancel{\sin \frac x2 }\left(\cos \frac{n+1}2x+i\sin \frac{n+1}2x\right)}{\cancel{4}\sin\cancel{^2}\frac x2}=\\
=\frac {\sin \frac {nx}2 \cos \frac{n+1}2x}{\sin \frac x2}+i\frac{\sin \frac {nx}2 \sin \frac{n+1}2x}{\sin \frac x2}$
Вижда се, че реалната част е сумата от косинусите, а имагинерната - от синусите и по този начин получихме две в едно - едновременно решение на двете подточки.