Две задачи от комплексни числа

[wenci]

Здравейте. Някой може ли малко по-подробно да ми обясни как се изчисляват изразите по-долу. Благодаря предварително.
1) [tex]e^{(2+i) \frac{\pi}{2}}[/tex]
2) [tex]5e^{- \frac{\pi}{2}i}[/tex]

[Добромир Глухаров]

Следното преобразувание е открито от Ойлер и се базира на развитията на функциите $e^z$, $cosz$ и $sinz$ в ред на Тейлър и по-точно на МакЛорен.

$e^{x+i.y}=e^x.e^{iy}=e^x.(cosy+i.siny)$

$e^{(2+i)\frac{\pi}{2}}=e^{\pi}.e^{i\cdot\frac{\pi}{2}}=e^{\pi}\left(cos{\frac{\pi}{2}}+i.sin{\frac{\pi}{2}}\right)=e^{\pi}.(0+i.1)=i.e^{\pi}$

$5.e^{-\frac{\pi}{2}\cdot i}=5\left(cos\left({-\frac{\pi}{2}}\right)+i.sin\left({-\frac{\pi}{2}}\right)\right)=5.(0+i.(-1))=-5i$