ГМ

[Гост]

Геометричното място на всички точки, удовлетворяващи [tex]arg(\frac{z-i}{z+i})=\frac{\pi}{4}[/tex], е?

[Добромир Глухаров]

$\frac{z-i}{z+i}=\frac{x+iy-i}{z+iy+i}=\frac{x+i(y-1)}{x+i(y+1)}=\frac{(x+i(y+1))(x-i(y+1))}{x^2+(y+1)^2}=\frac{x^2+y^2-1+i.(xy-x-xy-x)}{x^2+(y+1)^2}=\frac{x^2+y^2-1+i.(-2x)}{x^2+(y+1)^2}$

$arg\frac{z-i}{z+i}=arctan\frac{-2x}{x^2+y^2-1}=\frac{\pi}{4}\Rightarrow\frac{-2x}{x^2+y^2-1}=1\Rightarrow-2x=x^2+y^2-1\Rightarrow(x+1)^2+y^2=2$

$K[C(-1;0);R=\sqrt{2}]$

[Sup3rlum]

Докато, отговора на Добромир Глухаров е верен, самият въпрос е насочен към това как читателя разбира геометричните свойства на комплексните числа. По-точно към семейство формулировки които описват различни геометрични фигури в една диаграма на Арганд.

Тази която нашият Гост е предоставил, описва арка, между две точки, с даден ъгъл половин от ъгъла на сектора, който е описан от тези две точки и центъра на принадлежащата окръжност.

Това е описанието на всяка формула от типа $arg\bigg(\frac{z-b}{z-a}\bigg)=\theta$, където $a$ и $b$ са точките, и $\theta$ ъгълът.
Естеството е използване на едно от свойствата на кръга - Ако имаме две точки, всяка една трета точка част от окръжността, при спускане на две съответни хорди към нея, тези хорди ще сключват един и същи ъгъл, независимо от позицията на тази трета точка.

Txkxm.gif (62.35 KiB) Прегледано 1058 пъти

Screenshot_7.png (44.34 KiB) Прегледано 1058 пъти

Ако разгледаме горната фигура, знаем че $\alpha=arg(z-a), \beta = arg(z-b)$
Чрез противоположни ъгли имаме $\beta = \theta + \alpha \Rightarrow \beta - \alpha = \theta \Rightarrow arg(z-b)-arg(z-a)=\theta \Rightarrow arg\bigg(\frac{z-b}{z-a}\bigg)=\theta$. Но като имаме гореспоменатото свойство, това образува множеството от точки, които са арка, започваща с $a$ продължавайки по часовниковата стрелка, завършваща в $b$.

И да добавя към на Добромир Глухаров отговора, тъй като имаме арка, а не цял кръг, отговоря би следвало да изглежда така:

$z=x+iy$ където, $(x+1)^2+y^2=2, x < 0$

Screenshot_8.png (29.31 KiB) Прегледано 1058 пъти

[Гост]

[tex]a=b\Rightarrow K(C;R)[/tex]

[Добромир Глухаров]

[tex]a=b\Rightarrow K(C;R)[/tex]

Не! Окръжността е симетрична спрямо абсцисната, а не ординатната ос. Затова двете нейни дъги с краища $i$ и $-i$ дават различни вписани ъгли, от които само единият е $\frac{\pi}{4}$, а другият е $\frac{3\pi}{4}$.

[Гост]

*[tex]a=-b[/tex]