елипса

[Гост]

Ako [tex]|z-i|+|z+i|=k[/tex] е уравнението на елипса, к=?

[Добромир Глухаров]

Даденото уравнение чрез комплексни числа гласи: "Сумата от разстоянията от точка $z$ до точките $i$ и $-i$ е равна на $k$".

Тоест точките $(0;1)$ и $(0;-1)$ са фокуси на елипсата, а $k$ е сумата от разстоянията от всяка нейна точка до тези фокуси.

$k=\frac{2}{e}$. ($e$- ексцентрицитет (сплеснатост).)

В този случай например:

Елипса.png (750.54 KiB) Прегледано 1095 пъти

$k=3\Rightarrow e=\frac{2}{3}$

[Гост]

[tex]|z – i| + |z + i| = k,k>0[/tex]
[tex]\sqrt{x^2 + (y – 1)^2} + \sqrt{x^2 + (y + 1)^2]}= k[/tex] (1)
[tex][x^2 + (y – 1)^2] – [x^2 + (y + 1)^2] = k(\sqrt{x^2 + (y – 1)^2} – \sqrt{x^2 + (y + 1)^2})[/tex]
[tex]y^2 – 2y + 1 – y^2 – 2y – 1 = k(\sqrt{x^2 + (y – 1)^2} – \sqrt{x^2 + (y + 1)^2})[/tex]
[tex][(– 4y) / k] = \sqrt{x^2 + (y – 1)^2} – \sqrt{x^2 + (y + 1)^2}[/tex] (2)
(1)+(2)[tex]\Rightarrow 2\sqrt{x^2 + (y – 1)^2} = k – (4y / k)[/tex]
[tex]4[x^2 + (y – 1)^2] = [k – (4y / k)]^2[/tex]
[tex]4x^2 + 4y^2 – 8y + 4 = k^2 – 8y + 16(y^2 / k^2)[/tex]
[tex]x^2 + y^2 + 1 = (k^2 / 4) + [(4y^2) / k^2][/tex]
[tex]x^2 + [1 – (4 / k^2)]y^2 = (k^2 / 4) – 1[/tex]
[tex]x^2 / [(k^2 – 4) / 4] + y^2 / (k^2 / 4)= 1[/tex]
[tex]\Rightarrow k^2 – 4 > 0 , k^2 > 4[/tex]
[tex]k > 2[/tex]