Формула на Ойлер (интересно)

[WEBER]

[tex]\sum_{n=0}^{\infty } \frac{(ix)^n}{n! } = (1-\frac{x^2}{2 } +\frac{x^4}{24 }[/tex]...[tex])+i(x-\frac{x^3}{6 }+\frac{ix^5}{120 }[/tex]...[tex])[/tex]

[tex]e^{ix}=cosx+isinx[/tex] Ако се замести х с [tex]\pi[/tex] става формулата на Ойлер [tex]e^{i\pi}+1=0[/tex]

Сега идва якото. Ако вземем не [tex]ix[/tex], a [tex]-ix[/tex] става

[tex]e^{-ix}=cos(-x)+isin(-x)[/tex]
[tex]e^{-ix}=cosx-isinx[/tex]

Събираме почленно
[tex]e^{ix}=cosx+isinx[/tex]
+
[tex]e^{-ix}=cosx-isinx[/tex]
...и става

[tex]e^{ix}+e^{-ix}=2cosx[/tex]

[tex]cosx=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2 }[/tex]

което много прилича на хиперболически косинус.

[tex]cosh(ix)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2 }[/tex] ето от къде идвало това чудо
същото почти за синуса
[tex]sinh(ix)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2 }[/tex]

Ако приема формулата на Ойлер за даденост много неща мога да изкарам от нея. Но частта със сигмата малко ми куца, понеже никога не съм го учил това (в училище никога не са го споменавали-оправдания) Като вляза в Техническия само сигми ще ми се въртят

Кой знае какви неща още има в математиката. За всичко в училище, което са ни сервирали като даденос лека полека намирам връзките.

[mkmarinov]

Формулата на Ойлер идва от развиване на [tex]e^x, sinx, cosx[/tex] в ред на Тейлър/МакЛорен.

[WEBER]

Формулата на Ойлер идва от развиване на [tex]e^x, sinx, cosx[/tex] в ред на Тейлър/МакЛорен.

Да. Виж чак къде ни отвя