Kомплексификация на интеграл

[Гост]

Решете интеграла [tex]\int e^{x}cos(2x)dx[/tex], като го комплексифицирате.

[Добромир Глухаров]

$e^{x+i.2x}=e^xcos(2x)+i.e^xsin(2x)$

$\int e^{x+i.2x}dx=\frac{1}{1+2i}e^{x(1+2i)}+C=\frac{e^x}{1+2i}\cdot(cos(2x)+i.sin(2x))+C=\\=\frac{e^x}{1+2i}\cdot\frac{(1-2i)(cos(2x)+i.sin(2x))}{1-2i}+C=e^x\cdot\frac{cos(2x)+2sin(2x)+i[sin(2x)-2cos(2x)]}{(1+2i)(1-2i)}+C=\\=\frac{e^x}{5}[cos(2x)+2sin(2x)]+i\cdot\frac{e^x}{5}[sin(2x)-2cos(2x)]+C$

$\int e^xcos(2x)dx=\frac{e^x}{5}[cos(2x)+2sin(2x)]+C$
$\int e^xsin(2x)dx=\frac{e^x}{5}[sin(2x)-2cos(2x)]+C$