Максимум

[Гост]

Намерете максимума на [tex]f(z)=| z^{3 }-z+2 |[/tex] върху единичната окръжност.

[peyo]

Намерете максимума на [tex]f(z)=| z^{3 }-z+2 |[/tex] върху единичната окръжност.

Хм! Mного интересна задача! Тук ще я решим като преминем в полярни координати, ще намерим фиункция на $\alpha$ и ще и намерим максимума. Това ще е сложно, затова ще го направи със Sympy:

In [18]: f = z**3 - z+2

In [19]: f
Out[19]: z**3 - z + 2

In [21]: f_xy = f.subs(z,x+I*y)

In [22]: f_xy
Out[22]: -x - I*y + (x + I*y)**3 + 2

In [23]: f_trig = f_xy.subs(x,sin(a)).subs(y,cos(a))

In [24]: f_trig
Out[24]: (sin(a) + I*cos(a))**3 - sin(a) - I*cos(a) + 2

In [25]: f_exp = expand(f_trig)

In [26]: f_exp
Out[26]: sin(a)**3 + 3*I*sin(a)**2*cos(a) - 3*sin(a)*cos(a)**2 - sin(a) - I*cos(a)**3 - I*cos(a) + 2

In [28]: f_re = sin(a)**3 - 3*sin(a)*cos(a)**2 - sin(a)+ 2

In [29]: f_im = 3*sin(a)**2*cos(a) - cos(a)**3 - cos(a)

In [30]: f_diff = diff( f_re**2 + f_im**2)

In [31]: f_diff
Out[31]: (3*sin(a)**2*cos(a) - cos(a)**3 - cos(a))*(-6*sin(a)**3 + 18*sin(a)*cos(a)**2 + 2*sin(a)) + (18*sin(a)**2*cos(a) - 6*cos(a)**3 - 2*cos(a))*(sin(a)**3 - 3*sin(a)*cos(a)**2 - sin(a) + 2)

In [32]: simplify(f_diff)
Out[32]: 8*(6*sin(a)**2 - sin(a) - 2)*cos(a)

In [33]: f_diff_simpl = simplify(f_diff)

In [34]: solve(f_diff_simpl)
Out[34]: [-pi/6, pi/2, 7*pi/6, 3*pi/2, pi - asin(2/3), asin(2/3)]

In [35]: f_trig_max = f_re**2 + f_im**2

In [36]: max( [f_trig_max.subs(a, val) for val in solve(f_diff_simpl)] )
Out[36]: 13

[Гост]

taja zadacha e sushtata kato 13 ot https://www.matematika.bg/olimpiadi/olimpiadi-po-sveta/medjunarodni-olimpiadi-studenti/usa.html