Показателно уравнение

[Гост]

[tex]4^{z } +6 ^{z}=9 ^{z}[/tex]

[S.B.]

[tex]4^{z } +6 ^{z}=9 ^{z}[/tex]

Според мен това е хомогенно уравнение.Защо в раздел "Комплексни числа"?

[tex]4^{z } + 6^{ z} = 9^{z } \Leftrightarrow[/tex]

[tex]2^{2z } + 2^{z }. 3^{z } - 3^{2z }= 0 |: 3^{2z } \ne 0[/tex]

[tex]( \frac{2}{3}) ^{2z } + ( \frac{2}{3}) ^{z } - 1 = 0[/tex]

[tex]( \frac{2}{3}) ^{z } = t>0[/tex]

[tex]t^{2 } + t - 1 = 0 ,D = 5 , t_{1,2 } = \frac{-1 \pm \sqrt{5} }{2} ,t>0 \Rightarrow t = \frac{-1 + \sqrt{5} }{2}[/tex]
От [tex]\begin{cases} (\displaystyle \frac{2}{3}) ^{z } = t \\ t = \displaystyle \frac{ \sqrt{5} - 1 }{2} \end{cases} \Rightarrow z = \ log_{\displaystyle \frac{2}{3} }\displaystyle \frac{ \sqrt{5} -1}{2}[/tex]

[Добромир Глухаров]

[tex]4^{z } +6 ^{z}=9 ^{z}[/tex]

Според мен това е хомогенно уравнение.Защо в раздел "Комплексни числа"?

Защото z се предполага да е комплексно число, значи t може да бъде и отрицателно. Така ще получим две стойности за z - едната, реална, която Вие сте получила, и друга - комплексно число - главната стойност на логаритъм от отрицателно реално число, или даже по дефиниция за логаритъм от отрицателно число - серия от комплексни числа.

[Гост]

Ако авторът на темата си беше дал труда да напише някоя и друга думичка относно задачата, то нямаше да има нужда Добромир Глухаров да разяснява. Ясно е, че обикновено с буквата "z" се отбелязват комплексни числа, но добрият тон предполага освен някакъв израз да има и условие на задачата.

[S.B.]

Да,така е!Но мисля,че заглавието би трябвало да бъде "Показателно уравнение със степенен показател комплексно число",а не "Показателно уравнение" публикувано в раздел "Комплексни числа".Няма да довърша решението.Колегата Глухаров даде достатъчно разяснения,а и аз по някакъв начин все пак допринесох за решаването.Нека питащият Гост да довърши задачата самостоятелно.

[Гост]

Ако авторът на темата си беше дал труда да напише някоя и друга думичка относно задачата, то нямаше да има нужда Добромир Глухаров да разяснява. Ясно е, че обикновено с буквата "z" се отбелязват комплексни числа, но добрият тон предполага освен някакъв израз да има и условие на задачата.

КОРМОРАН, дори да беше отбелязан с "х" експонентът, пак е ясно за какво иде реч, защото темата е поместена в "Комплексни числа".

[KOPMOPAH]

КОРМОРАН, дори да беше отбелязан с "х" експонентът, пак е ясно за какво иде реч, защото темата е поместена в "Комплексни числа".

Разбира се, че приемам уточнението, макар че форумът гъмжи от задачи, които са в несъответстващите им теми. Считам, че е коректно и редно да се споменат няколко думи към условието, а не да се разчита само на темата.

[Гост]

Тя тази задача има смисъл само ако z е реално число, тъй като в противен случай изобщо даже не може да се говори за уравнение. Какво е 4^z+6^z и какво е 9^z? При степенуване с комлексни числа резултатът е множество от числа. Очевидно каквото и комплексно число да е z, множеството отляво зависи от два целочислени параметъра, а множеството отясно само от един, така, че няма как тези множества да съвпадат, т. е. изобщо равенството няма смисъл.

[Добромир Глухаров]

Тя тази задача има смисъл само ако z е реално число, тъй като в противен случай изобщо даже не може да се говори за уравнение. Какво е 4^z+6^z и какво е 9^z? При степенуване с комлексни числа резултатът е множество от числа. Очевидно каквото и комплексно число да е z, множеството отляво зависи от два целочислени параметъра, а множеството отясно само от един, така, че няма как тези множества да съвпадат, т. е. изобщо равенството няма смисъл.

Прав сте, моя грешка. Помислих също да разглеждам само главните стойности, но май и това няма много смисъл?

[Гост]

Какво е 4^z+6^z и какво е 9^z?

[tex]9^{z }= e^{z\ln 9}[/tex] кво не е ясно?

[Гост]

Какво е 4^z+6^z и какво е 9^z?

[tex]9^{z }= e^{z\ln 9}[/tex] кво не е ясно?

Не ти е ясно, че при комплексно степенуване 9^z= exp(zln9)exp(2kпiz), където k е произволно цяло число, т.е. това е множество от числа, чиито елементи се описват с един целочислен параметър. Ако някой е казал, че всички степени са определени стойности, тогава може да се говори за уравнение, но така или иначе това не е направено, и това че ти си решил, че тази степен е главната стойност не означава, че друг няма да реши да си вземе друга стойност. Отделен въпрос е дали съответното уравнение ще може да се реши при избрани конкретни стойности на степените, освен главните. Капиш?

[Гост]

[/quote]
Не ти е ясно, че при комплексно степенуване 9^z= exp(zln9)exp(2kпiz), където k е произволно цяло число, т.е. това е множество от числа, чиито елементи се описват с един целочислен параметър. Ако някой е казал, че всички степени са определени стойности, тогава може да се говори за уравнение, но така или иначе това не е направено, и това че ти си решил, че тази степен е главната стойност не означава, че друг няма да реши да си вземе друга стойност. Отделен въпрос е дали съответното уравнение ще може да се реши при избрани конкретни стойности на степените, освен главните. Капиш?[/quote]

нещо си са объркал, ама не ми се занима ся...друг път...