Пресметнете следните задачи с комплексни числа

[gigileon]

Зад.1
[tex]\frac{1-5i}{2+i }[/tex]

Зад.2
[tex](2+2\sqrt{3}i)^{12}[/tex]

Зад.3
[tex]\sqrt[5]{\frac{2+2\sqrt{3}i }{-1-i } }[/tex]

Моля ви, помогнете ми с тези задачи. Ако някой напише решението на задачите ще съм му много благодарен.

[prodanov]

малко късно отговарям, ама сега го научих тва и ми е още прясно, та къде по-добре да се опражня от колкото тук.

1)

[tex]\frac{1-5i}{2+i }[/tex]

[tex]\frac{(1-5i)(2-i)}{4-i^2 }[/tex]

[tex]\frac{2 -11i + 5i^2}{4-i^2 }[/tex]

[tex]\frac{-3 - 11i}{5}[/tex]

или формално:
[tex]-(\frac{3}{5} + \frac{11}{5}i)[/tex]


2)

няям идея.

3)

[tex]\sqrt[5]{\frac{2+2\sqrt{3}i }{-1-i } }[/tex]

[tex]\sqrt[5]{\frac{(2+2\sqrt{3}i)(-1+i) }{1-i^2 } }[/tex]

[tex]\sqrt[5]{\frac{-2 +2i - 2\sqrt3i +2\sqrt3i^2}{2 } }[/tex]

[tex]\sqrt[5]{-1 +i - \sqrt3i - \sqrt3 }[/tex]

[tex]\sqrt[5]{i(1 - \sqrt3) - (1 + \sqrt3)}[/tex]

Това ли е крайния отговор на трета?


П.П аа сетих се нещо по сред нощите!

[tex]\sqrt[5]{i(1 - \sqrt3) - (1 + \sqrt3)}[/tex]

[tex]\sqrt[10]{[i(1 - \sqrt3) - (1 + \sqrt3)]^2}[/tex]

[tex]\sqrt[10]{i^2(1 - \sqrt3)^2 - 2i(1 - \sqrt3)(1 + \sqrt3) + (1 + \sqrt3)^2}[/tex]

[tex]\sqrt[10]{4(\sqrt3+i)}[/tex]

Сега ли е това крайния отговор?

[allier]

[tex](2+2\sqrt{3}i)^{12} = (4.(\frac{1}{2 } +\frac{\sqrt{3} }{2 }i)^{12} = 4^{12}.e^{\frac{12i\pi }{3 } } = 4^{12}.(-1)^4=4^{12}[/tex]

По същия начин се пробвайте за третия пример. Използват се формулите:

[tex]cos\varphi + i. sin\varphi =e^{i\varphi }[/tex]
[tex]a+ib = \sqrt{a^2+b^2}(cos\varphi +i sin\varphi)[/tex], за [tex]\varphi =arccos(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2} })[/tex]

[prodanov]

Няма шанс, аз тва по учебника за 12ти решавах.
Все пак как стана от [tex]4^{12}.e^{\frac{12i\pi }{3 } } = 4^{12}.(-1)^4[/tex] ? Ей тук ако кажеш формулката ми стига, ако е дълго за 12токласник - недей.

[tex]\sqrt[10]{4(\sqrt3+i)}[/tex]

[tex]\sqrt[10]{8(\frac{\sqrt3}{2}+{\frac{1}{2}i)}[/tex]

[tex]\sqrt[10]{8}e^{\frac{i\pi}{90}}[/tex][tex]=\sqrt[10]{8} e^{2i} = \sqrt[10]{8}e^{i^2} = \sqrt[10]{2^3}e^{-1}?[/tex]

До тук бях аз в тоя раздел за сега.

[L.e.o]

[tex]cos\varphi + i. sin\varphi =e^{i\varphi }[/tex]
Нека
[tex]\varphi=60^\circ = \frac{\pi}{ 3}[/tex]
Тогава:
[tex]cos(\frac{\pi }{ 3}) + i. sin(\frac{\pi }{ 3}) =e^{i\frac{\pi }{3} } = \frac{1}{2 } + i\frac{\sqrt{3} }{ 2}[/tex]
Но от друга страна:
[tex]cos(\frac{\pi }{ 2}) + i. sin(\frac{\pi }{ 2}) =e^{i\frac{\pi }{2} } = 0 + i.1 = i[/tex]

[tex](2+2\sqrt{3}i)^{12} = (4.(\frac{1}{2 } +\frac{\sqrt{3} }{2 }i)^{12} = 4^{12}.e^{\frac{12i\pi }{3 } } = 4^{12}. e^{4i\pi}= 4^{12}. e^{(i\frac{\pi}{ 2})^{8} } = 4^{12}.(-1)^8=4^{12}[/tex]

[mkmarinov]

Бих искал да внеса лека поправка:
[tex](e^{(i\frac{\pi}{2})})^8=i^8=1[/tex]