Комплексно число на степен комплесно число?

[Djangi]

Здравейте,
Имам малко затруднение по математика и ще Ви помоля за помощ.
Става въпрос за комплексно число на степен комплексно число. Примерно:

Аааа.jpg (2.74 KiB) Прегледано 618 пъти

Не мога да го намеря никъде, а ми трябва спешно

[mkmarinov]

Основата ти е
[tex]\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i=\cos\frac{-\pi}{4}+i\sin\frac{-\pi}{4}=e^{-\frac{\pi}{4}i}[/tex]
А крайният отговор ще бъде
[tex](e^{-i\frac{\pi}{4}})^{i+1}=e^{\frac{\pi}{4}(1-i)}[/tex]

[nikko]

...
[tex](e^{-i\frac{\pi}{4}})^{i+1}=e^{\frac{\pi}{4}(1-i)}[/tex]

[tex]\exp(i\varphi) = \cos(\varphi) + i\sin(\varphi) \,[/tex] и значи

[tex]\exp(\frac{\pi}{4}-i\frac{\pi}{4}) =\frac{e^{\frac{\pi}{4}}}{e^{i\frac{\pi}{4}}}=e^{\frac{\pi}{4}}(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4})^{-1}=\frac{e^{\frac{\pi}{4}}}{\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)}=[/tex] рационализираме чрез умножение и деление на 1-i
[tex]=\frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{\pi}{4}}(1-i)[/tex]

[int]

Това не са всички стойности на посочената степен. Има безбройно много комплексни числа, които се явяват стойности на тази степен. Това са числата [tex]\frac{\sqrt{2}}{2}e^{\frac{\pi}{4}+2k\pi}(1-i),[/tex] където [tex]k\in\mathbb{Z}.[/tex] Така че сте посочили само главната стойност, която се получава при k=0.