Намерете произведението

[kerry]

[tex]sin1^\circ.sin2^\circ.sin3^\circ.sin4^\circ....sin88^\circ.sin89^\circ[/tex]


Отг. [tex]\frac{3\sqrt{10}}{2^{89}}[/tex]

[pipi langstrump]

Можем да го намерим като във формулата [tex]\prod_{\nu = 1}^{n-1}sin{\frac{\pi \nu}{n}} = \frac{n}{2^{n-1}}[/tex], която може да се докаже с комплексни числа, положим n = 180. По-интересно ще е обаче дали не можем да го намерим с някакви елементарни средства? Например произведението само от нечетните градуси sin1.sin3...sin89 може да се намери елементарно, но за четните поне на мен нищо не ми идва на ум.

[ferry2]

Би ли показала как се намира произведението от нечетните градуси, че аз нещо не мога да го измисля.

[strangerforever]

[tex]sin1.sin3.sin5...sin89[/tex]

[tex]= \frac{sin1.sin2.sin3...sin89}{sin2.sin4.sin6...sin88}[/tex]

[tex]= \frac{(sin1.sin89).(sin2.sin88)...(sin44.sin46).sin45}{sin2.sin4.sin6...sin88}[/tex]

[tex]= \frac{(sin1.cos1).(sin2.cos2)...(sin44.cos44).sin45}{sin2.sin4.sin6...sin88)}[/tex]

[tex]= \frac{\frac{1}{2}^{44}.(sin2.sin4.sin6...sin88).sin45}{sin2.sin4.sin6...sin88}[/tex]

[tex]= \frac{1}{2}^{44}.\frac{1}{2}^{\frac{1}{2}}[/tex]

[tex]= \frac{1}{2}^{\frac{89}{2}}[/tex]

[ins-]

Скрит текст: покажи

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=2126806&sid=cc1448cb4b5b9919b74c4b161402a885#p2126806

[kerry]

Можем да го намерим като във формулата , ... която може да се докаже с комплексни числа

И аз без комплексни числа не успях да я реша, затова не я пуснах в "Тригонометрия" а в "Комплексен анализ, комплексни числа". Докато пишех видях, че ins- е дал решение без комплексни числа.

Отговорът ми харесва повече така:[tex]\frac{2\sqrt{90}}{2^{90}[/tex], защото се запомня по-лесно. Особено ако умножим търсеното произведение със [tex]sin 90 ^\circ[/tex].

Използвах тази задача:
http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=4296

[pipi langstrump]

Мерси много, ins-
Това решение на Сидхартхананд е много добро!