Няколко задачи

[snake1109]

1.jpg (145.66 KiB) Прегледано 509 пъти

2.jpg (48.84 KiB) Прегледано 509 пъти

[Anubis]

[tex]\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x}{(x-1)(x^2+4x+5)} \operatorname{d}x[/tex]

Трябва да разгледаме функцията [tex]f(z) = \frac{z}{(z-1)(z^2+4z+5)}[/tex]. Тя има прости полюси в точките

[tex]z=1, \, z=-2+i, \, z=-2-i[/tex]. Само точката [tex]-2+i[/tex] ни върши работа, защото само тя е в горната полуравнина.

Обхождането на затворената крива е така, както е нарисувано на картинката: от [tex]-R[/tex] до [tex]1-r[/tex], от [tex]1-r[/tex] до [tex]1+r[/tex] по

малката окръжност, от [tex]1+r[/tex] до [tex]R[/tex] и от [tex]R[/tex] до [tex]-R[/tex] по голямата окръжност. [tex]R[/tex] е избрано толкова голямо, че

всичките нули с положителна ордината на [tex]f(z)[/tex] да попадат във вътрешността на голямата полуокръжност над оста

[tex]Ox[/tex].

Сега прилагаме теоремата за резидуумите за затворената крива, която обхождаме.

[tex]\int_{-R}^{1-r}f(x) \operatorname{d}x + \int_{l_{r}}f(z) \operatorname{d}z + \int_{1+r}^{R}f(x) \operatorname{d}x + \int_{L_{R}}f(z) \operatorname{d}z = 2 \pi i \operatorname{Res} (f; \, -2+i)[/tex]

Извършваме граничен преход при [tex]R \to +\infty \Rightarrow \int_{L_{R}}f(z) \operatorname{d}z \to 0[/tex], т. е.

[tex]\int_{-\infty}^{1-r}f(x) \operatorname{d}x + \int_{l_{r}}f(z) \operatorname{d}z + \int_{1+r}^{+\infty}f(x) \operatorname{d}x = 2 \pi i \operatorname{Res} (f; \, -2+i)[/tex].

Правим втори граничен преход [tex]r \to 0 \Rightarrow \int_{l_{r}}f(z) \operatorname{d}z \to - \pi i \operatorname{Res} (f; \, 1)[/tex]. Получаваме

[tex]\int_{-\infty}^{1}f(x) \operatorname{d}x + \int_{1}^{+\infty}f(x) \operatorname{d}x - \pi i \operatorname{Res} (f; \, 1) = 2 \pi i \operatorname{Res} (f; \, -2+i)[/tex], или

[tex]\operatorname{v. \, p.} \int_{-\infty}^{+\infty}f(x) \operatorname{d}x = 2 \pi i \operatorname{Res} (f; \, -2+i) + \pi i \operatorname{Res} (f; \, 1)[/tex]. Само смятаме двата резидуума.

Това са прости полюси за подинтегралната функция, тогава се пресмятат лесно по формулата

[tex]f(z) = \frac{\varphi (z)}{\psi (z)} \Rightarrow \operatorname{Res}(f; \, z_{0}) = \frac{\varphi (z_{0})}{\psi' (z_{0})}[/tex]. Виждаме, че [tex]\operatorname{Res} (f; \, 1) = \frac{1}{10}, \, \operatorname{Res} (f; \, -2+i) = \frac{-1-7i}{20}[/tex].

[tex]\operatorname{v. \, p.} \int_{-\infty}^{+\infty}f(x) \operatorname{d}x = \frac{2 \pi i (-1-7i)}{20} + \frac{\pi i}{10} = -\frac{2 \pi i}{20} + \frac{14 \pi}{20} + \frac{\pi i }{10} = -\frac{\pi i }{10} + \frac{14 \pi}{20} + \frac{\pi i}{10} = \frac{14 \pi}{20} = \frac{7 \pi}{10}[/tex]

Имагинерните части задължително трябва да се съкратят (все пак това е реален интеграл). Ако това не стане,

някъде много лошо са омазани сметките.