Моля помогнете Комплексни Числа

[Гошо]

Можели,да ми пеше някой.Как се решава Комплексни числа,и ако може с най-простия начин.Неможах да ги разбера,имам формоли но пак немога.Ако има някакъв сайт да ми разкаже по-простичко или някой от вас да ми помогне мн. щесъм Багодарен!

[alexander_ivanov]

това което знам е на много ниско ниво:
всяко комплексно число има реална и имагинерна част и се дефинира така: [tex]c=ai+b[/tex] където a и b са реални числа и [tex]i[/tex] = [tex]\sqrt{-1}[/tex]

[Добромир Глухаров]

Да предположим, че искаме да решим квадратното уравнение [tex]x^2-1=0[/tex]. Това става лесно и получаваме два различни реални корена: [tex]x_{1,2}=\pm 1[/tex].

Да предположим сега, че уравнението е: [tex]x^2+1=0[/tex]. Виждаме, че лявата страна е положителна за всяко реално [tex]x[/tex], значи няма реални корени. Но не може ли да си измислим такива числа, по възможност включващи в себе си реалните, че всяко квадратно уравнение да има решение измежду новите числа. Оказва се, че е достатъчно да въведем едно специално число - [tex]i[/tex] - такова, че [tex]i^2=-1[/tex] и после нека новите числа са от вида: [tex]z=a+bi[/tex], където [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] са реални.

Така решенията на уравнението [tex]x^2+1=0[/tex] ще са [tex]z_{1,2}=0\pm 1.i=\pm i[/tex].

Наистина, като заместим, получаваме: [tex](\pm i)^2+1=i^2+1=-1+1=0[/tex]

Ако пък имаме уравнението: [tex]ax^2+bx+c=0 \Rightarrow x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/tex]. Тук [tex]D=b^2-4ac[/tex] е дискриминантата. Ако тя е положителна или нула, всичко е наред - получаваме реални корени. Ако обаче е отрицателна: [tex]\sqrt{D}=\sqrt{-1.(-D)}=\sqrt{-1}.\sqrt{-D}=i.\sqrt{-D}[/tex], понеже [tex]i^2=-1 \Rightarrow i=\sqrt{-1}[/tex]. Но [tex]-D>0 \Rightarrow \sqrt{-D}[/tex] е реално. Значи [tex]x_{1,2}=\frac{-b\pm i.\sqrt{-D}}{2a}=\frac{-b}{2a}\pm i.\frac{\sqrt{-D}}{2a}[/tex] са числа от вида на дефинираните от нас нови числа.

[tex]z=a+b.i[/tex] се нарича комплексно число, [tex]a[/tex] - реална част [tex]b[/tex] - имагинерна (въображаема) част.

[Добромир Глухаров]

Теория за комплексни числа има и на тези страници:

http://www.math10.com/bg/algebra/complex-numbers.html

http://stancho.roncho.net/HighMath/Complex/CN1.html

А може да погледнеш и в Уикипедия:

http://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D0%BE_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE

[addeqna]

2^i kak moje da se predstawi w algebri4en vid?

[Добромир Глухаров]

2^i kak moje da se predstawi w algebri4en vid?

[tex]ln2^i=iln2=i[Ln2+2k\pi i]=i[ln2+iArg(2)+2k\pi i]=[/tex]

[tex]=i[ln2+i.0+2k\pi i]=iln2-2k\pi[/tex]

[tex]2^i=e^{ln2^i}=e^{iln2-2k\pi}=\frac{e^{iln2}}{e^{2k\pi}}=\frac{cos(ln2)+isin(ln2)}{e^{2k\pi}}[/tex]

[tex]2^i=\frac{cos(ln2)}{e^{2k\pi}}+i\frac{sin(ln2)}{e^{2k\pi}}[/tex]

Главната стойност на [tex]2^i[/tex] е: [tex]cos(ln2)+i.sin(ln2)\approx 0,769+i.0,639[/tex]

[addeqna]

2^i kak moje da se predstawi w algebri4en vid?

[tex]ln2^i=iln2=i[Ln2+2k\pi i]=i[ln2+iArg(2)+2k\pi i]=[/tex]

[tex]=i[ln2+i.0+2k\pi i]=iln2-2k\pi[/tex]

[tex]2^i=e^{ln2^i}=e^{iln2-2k\pi}=\frac{e^{iln2}}{e^{2k\pi}}=\frac{cos(ln2)+isin(ln2)}{e^{2k\pi}}[/tex]

[tex]2^i=\frac{cos(ln2)}{e^{2k\pi}}+i\frac{sin(ln2)}{e^{2k\pi}}[/tex]

Главната стойност на [tex]2^i[/tex] е: [tex]cos(ln2)+i.sin(ln2)\approx 0,769+i.0,639[/tex]

Благодаря
каква е разлката между Ln2 и ln2 ,какво е Arg(2)?
как да направя Ln(1+i) ?

[Добромир Глухаров]

[tex]lnz=Lnz+2k\pi i[/tex]

[tex]Lnz[/tex] е главната стойност на [tex]lnz[/tex] и приема само една стойност (еднолистна е). [tex]lnz[/tex] приема безброй стойности за [tex]k\in\mathbb{Z}[/tex].

[tex]Arg[r(cos\varphi+isin\varphi)]=\varphi,\ \ 0\le \varphi<2\pi[/tex]

[tex]Lnz=ln|z|+iArgz[/tex]

Тук вече [tex]ln[/tex] е натурален логаритъм от реално положително число и приема само една стойност.

[tex]Ln(1+i)=Ln[\sqrt{2}(cos{\frac{\pi}{4}}+isin\frac{\pi}{4})]=ln\sqrt{2}+i\frac{\pi}{4}[/tex]

[Добромир Глухаров]

Всъщност откъде идват тези формули ?

Разглеждаме аналитичната функция [tex]w=lnz\ \ (w=u+i.v)[/tex]

[tex]z=e^w=e^u(cos v+i.sin v)[/tex]

[tex]u=ln|z|,\ v=Argz+2k\pi[/tex]

[addeqna]

Благодаря а как ще стане [tex]e^{\frac{\pi }{2 }i }[/tex]?

[Добромир Глухаров]

[tex]e^{\frac{\pi}{2}i}=cos{\frac{\pi}{2}}+isin\frac{\pi}{2}=i[/tex]

[addeqna]

Мерси ! Ще ми кажете ли дали правилно смятам тук се колебая за [tex]\varphi[/tex] дали е 0 или -3 Намерете аналитичната ф-я [tex]w=f(z)=u+iv[/tex] [tex]u= x^2-y^2+3y[/tex] [tex]w(0)= 0[/tex] получавам за d http://www3.wolframalpha.com/Calculate/ ... w=153&h=36 , dy=3-2y
[tex]d^{2}y =2[/tex]
[tex]d^{2}x=-2[/tex]
[tex]v=\int_={2x}{dy }=2xy+\varphi(x)[/tex]. за да са изпълнени условията Коши-Риман?
[tex]\varphi(x) =-3[/tex]?

[Добромир Глухаров]

[tex]w=x^2-y^2+3y+i(2xy-3x+C)[/tex]

[tex]w(0)=0\Rightarrow C=0[/tex]

[tex]\varphi '(x)=-3\Rightarrow \varphi(x)=-3x+C[/tex]

[addeqna]

[tex]w=x^2-y^2+3y+i(2xy-3x+C)[/tex]

[tex]w(0)=0\Rightarrow C=0[/tex]

[tex]\varphi '(x)=-3\Rightarrow \varphi(x)=-3x+C[/tex]

дa!:)
И аз така получих ,но после не мога да го доведа до w=z+iz ][tex]w=x^2-y^2+3y+i(2xy-3x+C)=(x+iy)^2+3(y-ix)[/tex] така ли да остане ?

[Добромир Глухаров]

[tex]w=z^2-3i.z[/tex]

[addeqna]

оо мерси!
Значи е вярно?!:)z^3+1=0имал и някакво решение или така си е трети корен -1 ?

[Добромир Глухаров]

[tex]-1=cos\pi+isin\pi[/tex]

[tex]z_k=cos{\frac{\pi+2k\pi}{3}}+isin{\frac{\pi+2k\pi}{3}}\ ,\ k=0,1,2[/tex]

[addeqna]

[tex]-1=cos\pi+isin\pi[/tex]

[tex]z_k=cos{\frac{\pi+2k\pi}{3}}+isin{\frac{\pi+2k\pi}{3}}\ ,\ k=0,1,2[/tex]

Благодаря много! Смятам уравнение на права AB A(2,0,3); B(2,-1,4) ; D(4,3,0) успоредник да се намерят уравненията на страните и диагоналите и координатите на точка C , но ме притеснява нулата в знаменателя AB: [tex]\frac{x-2}{0 } = \frac{y}{ -1}= \frac{z-3}{1 }[/tex] Получавам : C(4,2,1) . Правилно ли работя или има друг начин когато знаменателя е нула?

[Добромир Глухаров]

Правилно работиш. Уравнението е прието да се записва точно така - със знаменател 0. Означава, че х е константа - правата е успоредна на Oyz.