Курсова работа по комплексен анализ

[student]

Ще съм благодарен, ако някой ми помегне с тези задачи:

[kerry]

В първата задача ако развиеш в ред на Фурие функцията [tex]f(x)=\frac{\pi}{2}-|x|[/tex] в интервала [tex]x\in [-\pi,\pi][/tex] при x=0 се получава точно това.

[tex]f(x)=\frac{4}{\pi} \( \frac{cosx}{1^2}+\frac{cos3x}{3^2}+\frac{cos5x}{5^2}+\frac{cos7x}{7^2}+ .... \)[/tex]

[tex]f(0)=\frac{\pi}{2}=\frac{4}{\pi} \( \frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+ .... \)[/tex]

[ferry2]

А как да се сети човек, че точно тази функция трябва да развие в ред на Фурие? Не се заяждам, любопитно ми е .

[WEBER]

А как да се сети човек, че точно тази функция трябва да развие в ред на Фурие? Не се заяждам, любопитно ми е .

Аз за същата функция си мислех, но точно поради тази причина не пуснах решението. Но в условието пише "докажете", това определено го доказва.

А с 3та на никой ли не му се занимава? За равномерната сходимост може да се използва неравенството [tex]1+nx^2\ge 2|x|\sqrt{n}[/tex] (ако се докаже, че е сходящ първо де)

[kerry]

А как да се сети човек, че точно тази функция трябва да развие в ред на Фурие? Не се заяждам, любопитно ми е .

Преди курсовата работа сигурно е имало упражнения, на които са решавани подобни, а може би и същите задачи. Ако Student си прегледа записките ще открие подходяща функция за развитие в ред.

Аз първоначално реших задачата с друга функция, която вече съм представял в ред на Фурие.

[tex]f(x)=\frac{\pi^2-3x^2}{12}=\frac{cosx}{1^2}-\frac{cos2x}{2^2}+\frac{cos3x}{3^2}-\frac{cos4x}{4^2}+\frac{cos5x}{5^2}-\frac{cos6x}{6^2}+.... \ -\pi \le x \le \pi[/tex]

При [tex]x=0 \ \Rightarrow \ \frac{\pi^2}{12}=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}-\frac{1}{6^2}+....[/tex]

При [tex]x=\pi \ \Rightarrow \ \frac{\pi^2}{6}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+....[/tex]

Като съберем последните две равенства, получаваме [tex]\frac{\pi^2}{8}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+....[/tex]

А като ги извадим [tex]\frac{\pi^2}{24}=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+....[/tex]