L. e. o., отново имам няколко въпроса, ако можеш да ми отговориш - хубаво.
Това е задача, която видях в един сборник по вероятности:
Задача 1. Случайните величини [tex]\xi, \, \eta[/tex] са независими и равномерно разпределени съответно
в интервалите [tex](0; \, a)[/tex] и [tex]\left ( 0; \, \frac{\pi}{2} \right )[/tex]. Да се намери [tex]P \{ \xi < b \cos \eta \}[/tex], където [tex]0<b<a[/tex].
Това е решението, което те са предложили.
Решение 1. Извършваме трансформацията [tex]u = x - b \cos y, \, v = y[/tex]. Имаме [tex]x = u + b\cos v, \, y = v[/tex].
Намираме [tex]f_{\zeta, \eta}(x; \, y) = \frac{2}{a\pi}[/tex] при [tex]0<x<a, \, 0<y<\frac{\pi}{2}[/tex] и [tex]f_{\xi, \eta}(x; \, y) = 0[/tex] в останалите случаи. Имаме
след преобразуване [tex]f_{\xi, \eta}(u; \, v) = \frac{2}{a\pi}[/tex] при [tex]0<u+b\cos v<a, \, 0<v<\frac{\pi}{2}[/tex] и [tex]f_{\zeta, \eta}(u; \, v) = 0[/tex] в останалите
случаи, където [tex]\zeta=\xi-b\cos\eta[/tex]. Тогава [tex]P \{ \xi<b\cos\eta \} = P \{ \xi-b\cos\eta<0 \} = P \{ \zeta<0 \} = \frac{2b}{a\pi}[/tex].
1. Какво е това преобразуване, за което говорят на третия ред?
2. Как точно са сметнали [tex]f_{\zeta,\eta}[/tex] и [tex]f_{\xi,\eta}[/tex]?
Ето още една, на която не разбирам напълно решението.
Задача 2. Нека [tex]a, \, b, \, c[/tex] са независими случайни величини, равномерно разпределени в
интервала [tex](0; \, 1)[/tex]. Каква е вероятността уравнението [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] да има реални корени?
Решение 2. Плътността на случайния вектор [tex](a; \, b; \, c)[/tex] е [tex]f(x; \, y; \, z)[/tex] при
[tex]x \in (0; \, 1), \, y \in (0; \, 1), \, z \in (0; \, 1)[/tex] и [tex]f(x; \, y; \, z) = 0[/tex] в останалите случаи. Вероятността даденото
уравнение да има реални корени се дава с [tex]P \{ b^2-4ac \ge 0 \}[/tex].
Разглеждаме трансформацията [tex]u=y^2-4xz, \, v=y, \, w=z[/tex] и полагаме
[tex]\xi_{1}=u(a; \, b; \, c) = b^2-4ac, \, \xi_{2}=v(a; \, b; \, c) = b, \, \xi_{3}=w(a; \, b; \, c) = c[/tex]. Тогава след преобразуване за
плътността на случайния вектор [tex]\eta=(\xi_{1}; \, \xi_{2}; \, \xi_{3})[/tex] получаваме [tex]f_{\eta}(u; \, v; \, w)=\frac{1}{4w}[/tex] при
[tex]0<\frac{v^2-u}{4w}<1, \, 0<v<1, \, 0<w<1[/tex] и [tex]f_{\eta}(u; \, v; \, w)=0[/tex] в останалите случаи. За търсената вероятност
намираме [tex]P \{ b^2-4ac \ge 0 \} = P \{ \xi_{1} \ge 0 \} = \int_{0}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_{\eta} \operatorname{d}u \operatorname{d}w \operatorname{d}v = \frac{5+6\ln 2}{36}[/tex].
1. Как са сметнали [tex]f_{\eta}[/tex]?
2. Откъде дойде [tex]0<\frac{v^2-u}{4w}<1[/tex]? Съжалявам за може би малоумния въпрос, но точно сега не
мога да си го обясня (а сигурно е нещо супер елементарно),
.
3. Как са сметнали тройния интеграл,
,
,
? Опитах се да си отговоря и на този
въпрос, но без успех. Предполагам, границите не трябва да останат безкрайности, иначе
как в отговора ще се пръкне логаритъм,
,
,
,
.
Ако някой ме просветли относно тези дълбоки загадки, ще се радвам много!!!!!!!
Меню
