От кутия с 15 червени и 6 сини топки са извадени без връщане

[Гост]

От кутия с 15 червени и 6 сини топки са извадени без връщане 2 топки. Каква е вероятността да бъдат извадени 1 червена и 1 синя топка?
Ако може да ми обясните как точно се решават, как да открия ако в задачата се изисква да намеря каква е вероятността да се паднат 2 червени или 2 сини топки.
Благодаря.

[Мариета]

Прегледах задачите от този вид решени във форума и пробвах да я реша сама, но не ми излиза отговора.Моля Ви кажете къде греша.
15-червени топки - p1=15*14/21*20 =210/420 =7/14
6- сини топки - p2=6*5/21*20=30/420=1/14
P=p1+p2 P=7/14+1/14=8/14=4/7
отговора даден е 3/7
Другия въпрос е ако искат да открия само вероятността да се извадят само червени или само сини топки как става решаването на такива задачи? Как да пресметна вероятността да се извадят топки от различен или еднакъв цвят? При условие че са различен брой червените и сините топки и вероятността е различна, но как точно се решава?

[amsara]

Само преди месец взехме в даскало уроците за комбинаторика и въобще не съм сигурна, че съм права и че съм разбрала нещата добре, но според мен още в началото написаното от теб не е наред. Не се ли разбира от условието, че двете топки са извадени едновременно? Ако е така, защо търсиш две отделни вероятности и после ги събираш? Това не се ли прави само, когато двете събития са несъвместими? Освен това ми се струва, че и това 420 като брой на възможните комбинации не е вярно.

[tex]C_{21}^2= \frac{21.20}{ 2.1}=210[/tex]
Благоприятните изходи са [tex]15.6=90[/tex]
=>[tex]p=\frac{90}{ 210}=\frac{3}{ 7}[/tex]

Но дали е така?

[Мариета]

Здравей.Много се радвам че някой ми отговори.Аз не зная как се решават тези задачи, просто видях във форума подобна задача и пробвах да я реша по същия начин.В тази задача искат да намеря вероятността да се паднат 1 червена и 1 синя топка, но как ще се реши ако искат да намеря вероятността да са извадени 2 червени или 2 сини топки.Може ли да ми разясниш защо е C 2 върху 21 и защо после си ги разменила? И защо благоприятните изходи са 15.6 ? Благодаря предварително.

[amsara]

Честно казано, не рaзбрах какво съм разменила. Просто съм заместила по формулата. И няма никакво 2 върху 21.

За да намериш вероятността да се случи дадено събитие, трябва да знаеш броя на благоприятните случаи и броя на всички възможни. Отношението благоприятни към всички е точно търсената вероятност.
Имаш 15 червени топки. Сред тях една червена можеш да избереш по 15 начина. Имаш и 8 сини. Сред тях една синя можеш да избереш по 8 начина. И от правилото "Ако елементът а може да бъде избран по m начина и при всеки избор на а елементът b може да бъде избран по n начина, то изборът на наредената двойка (а,b) може да стане по m.n начинa", което го има между другото и тук , във форума, следва че благоприятните изходи са 15.6=90 .
Остава да намериш всички изходи. А това става с комбинация от 21 елемента от втори клас. 21 са елементите, защото това е сборът на 15 червени и 6 сини топки или броят на всичките топки. От 2 клас е , защото от всичките 21 вадиш 2 топки. И сега остава само да заместиш във формулата:
[tex]C_{n}^k= \frac{n!}{k!(n-k)! } =>C_{21}^2=\frac{21!}{2!19! }=\frac{21.20.19!}{2.1.19! }=210[/tex]
И тогава: [tex]p=\frac{90}{ 210} =\frac{3}{7 }[/tex]

Мисля, че и случаите с две сини или две червени топки следва да са на същата логика. Всичките възможни изходи си остават пак 210. Остава да намерим благоприятните.
1. За 2 червени топки - няма значение подредбата, значи пак ще ползваме комбинация. Но този път от 15 елемента от 2 клас, защото избираме 2 топки сред тези 15. Пак ползваме формулата и [tex]C_{15}^2=\frac{15.14}{ 2.1} =105[/tex]
[tex]p=\frac{105}{ 210}=\frac{1}{2 }[/tex]
2. За 2 сини топки - няма значение подредбата, значи пак ще ползваме комбинация. Но този път от 6 елемента от 2 клас, защото сред налични 6 избираме 2. Пак ползваме формулата и [tex]C_{6}^2=\frac{6.5}{ 2.1} =15[/tex]
[tex]p=\frac{15}{ 210}=\frac{1}{14 }[/tex]

Но и преди казах, и сега го повтарям, че не съм сигурна. От друга страна, може и да ми е вярно, защото:
Ако гледаме на падането на две сини, на две червени или на синя и червена като на отделни, независими събития, то сборът от трите вероятности май трабва да е 1 по дефиниция. А сборът [tex]\frac{1}{14 } +\frac{1}{2 }+\frac{3}{ 7}[/tex] е точно 1.

[L.e.o]

Простото логическо мислене е по-силно от всякакви формули...

Имаш 15+6 топки (2 вида топки) и са извадени 2.
Тоест имаш 4 (2^2) изхода: ч+ч, ч+с, с+ч, с+с
Вер. за ч+ч:
15 от 21 общо са червени. Значи да извади ч вер. е 15/21. Остават 14 червени от общо 20 топки. Вер. и 2рата извадена да е червена е 14/20.
Тоест вер. за
ч+ч е р1 = 15/21 * 14/20
Аналогично за:
ч+с: р2 = 15/21 * 6/20
с+ч: р3 = 6/21 * 15/20 (забележи че вер. за ч+с и с+ч са еднакви)
с+с: р4 = 6/21 * 5/20

Ако в задачата се търси примерно:
- вер. за изваждане на еднакви топки: р1+р4
- вер. за изваждане на разноцветни топки: р2+р3

[Мариета]

По метода който ми показа се опитах да реша още една задача, но пак не ми се получава отговора.Ще погледнеш ли къде греша?
- От кутия с 5 сини и 4 червени топки по случаен начин без връщане са извадени 3 топки.Каква е вероятността извадените топки да са от един цвят. Отговора е 1/6
Ето и моя жалък опит да я реша.
[tex]C_{9}^3=\frac{9.8.7}{ 3.2.1} =84[/tex]
[tex]C_{5}^3=\frac{5.4.3}{ 3.2.1} =10[/tex]
[tex]C_{4}^3=\frac{4.3.2}{3. 2.1} =4[/tex]
[tex]p=\frac{10}{ 84} =\frac{5}{42 }[/tex]
[tex]p=\frac{4}{ 84} =\frac{2}{42 }[/tex]

[Мариета]

Има и една задача на която P ми е дадено , но не знам 1 единия цвят топки колко са. Ето и задачата.Имаме бели и 6 черни топки.Ако вероятността да бъде извадена бяла топка е p=\frac{1}{3 }, то колко са белите топки в кутията?
С копи-пейст не ми се получава като хората. Как да напиша задачата разбираемо?

[inveidar]

Само преди месец взехме в даскало уроците за комбинаторика и въобще не съм сигурна, че съм права и че съм разбрала нещата добре, но според мен още в началото написаното от теб не е наред. Не се ли разбира от условието, че двете топки са извадени едновременно?
Но дали е така?

В условието е казано без връщане. Това означава, че топките се вадят една след друга. В противен случай уточнението без връщане е излишно. В такъв случай броят на всички възможни случаи е 21.20=420. Благоприятните са червена, синя или синя, червена, т.е 15.6+6.15=180. Вероятността е [tex]\frac{180}{420 }=\frac{3}{ 7}[/tex]. Между другото, ако в задачата беше казано само, че се изваждат две топки, то тя може да се решава и като теб, Сара, и като мен и отговорът винаги е един и същ. Но тук щом са казали без връщане, лично аз мисля, че трябва да се решава така както съм написал.

[amsara]

По метода който ми показа се опитах да реша още една задача, но пак не ми се получава отговора.Ще погледнеш ли къде греша?
- От кутия с 5 сини и 4 червени топки по случаен начин без връщане са извадени 3 топки.Каква е вероятността извадените топки да са от един цвят. Отговора е 1/6
Ето и моя жалък опит да я реша.
C_{9}^3=\frac{9.8.7}{ 3.2.1} =84
C_{5}^3=\frac{5.4.3}{ 3.2.1} =10
C_{4}^3=\frac{4.3.2}{3. 2.1} =4
p=\frac{10}{ 84} =\frac{5}{42 }
p=\frac{4}{ 84} =\frac{2}{42 }

Ми, да, мисля, че е правилно. Намерила си вероятността да извадиш три сини и вероятността да извадиш 3 червени. Но и двете отговарят на условието за един цвят. Събираш двете вероятности, както е показал ЛЕО в края на поста си и готово.

[tex]\frac{5}{ 42} + \frac{2}{ 42}=\frac{7}{ 42} =\frac{1}{6 }[/tex]

LEO, сигурно си прав и логиката е най-доброто решение. Ама си трябва някакъв тренинг. Комбинаториката я взехме буквално в края на срока и не знам дали повече ще се учи до края на гимназията, та да й свикне човек и да избяга малко от формулите. А и малко скрито ти пак си ползваш правила. На места умножаваш, на места събираш вероятности. Тоест човек трябва да знае някои основни неща от теорията, за да следва после логиката.

Инвейдър, сега видях поста ти. Значи и тук важи забележката ти, нали така? Всичко , написано от Мариета и събирането на двете вероятности от мен накрая, е решението на задача с друго условие , при едновременно изваждане на трите топки. А тогава правилното за дадената задача би трябвало да е:
9.8.7= 504 са всички изходи. Благоприятните са:
[tex]5.4.3+4.3.2= 84[/tex] =>[tex]p=\frac{1}{ 6}[/tex] Така ли е или греша?

Истината е, че не знаех смисъла на това "без връщане". Сега вече го знам.

[inveidar]

Да, така е. С връщане се използва когато вадиш една топка и после я връщаш. После вадиш втора и я връщаш и така в зависимост от това колко топки вадиш. Тогава задачата е съвсем различна.