Реални корени

[Гост]

Ако [tex]U_{1 }[/tex], [tex]U_{2 }[/tex], [tex]U_{3 }[/tex] са независими, непрекъснато равномерно разпределени случайни величини върху интервала [0,1], да се намери вероятността у-то [tex]U_{1 }[/tex][tex]x^{2 }[/tex]+[tex]U_{2 }[/tex]x+[tex]U_{3 }[/tex]=0 да има реални корени

[pal702004]

[tex]\frac{5+6\ln( 2)}{36}\approx 0.2544[/tex]

[Гост]

Не. Отговора е 1/9

[pal702004]

Не, отговорът е това, което написах. Три независими случайни величини с равномерно разпределение на [tex](0;1)[/tex]. Каква е вероятността [tex]b^2>4ac[/tex]. Да пресметнем първо вероятността [tex]ac<\lambda[/tex], където [tex]\lambda=\frac{b^2}{4}<1[/tex]

[tex]c<\frac{\lambda}{a}[/tex]. Лице на криволинее трапец, [tex]P=\lambda+\int_{\lambda}^1 \frac{\lambda}{a}da=\lambda(1-\ln{\lambda})[/tex]

И тъй като [tex]\lambda[/tex] зависи от b, която се изменя от 0 до 1

[tex]P=\int_0^1 \frac{b^2}{4}\left(1-\ln{\frac{b^2}{4}}\right)db=\frac{5+6\ln 2}{36}[/tex]

Всъщност, преди да пишеш глупости от рода на 1/9, можеш да си провериш резултата емпирично. Най-малкото, ако не владееш език за програмиране, в Excel има фунцкия RAND(). Да си провериш резултата на база няколкко хиляди опита.

[Гост]

Решение:
Имаме три независими равномерно разпределени случ. величини върху интервала [0,1]. Т.е. плътностната функция за всяка от тях е : [tex]f_{U }[/tex]=1 за 0[tex]\le[/tex] U [tex]\le[/tex]1 и 0 за всички останали стойности на U.
Тъй като те са независими имаме общата плътностна функция да е умножение на отделните им плътностни функции т.е. [tex]f_{U_{1 },U_{2 },U_{3 }}[/tex]=1 за стоиности на 3-те в интервала [0,1] и 0 навсякъде другаде.
От друга страна имаме P([tex]U_{1 }^{2}[/tex][tex]\ge[/tex]4[tex]U_{1 }[/tex][tex]U_{3 }[/tex])=1-P([tex]U_{1 }^{2}[/tex][tex]\le[/tex]4[tex]U_{1 }[/tex][tex]U_{3 }[/tex])=1-[tex]\int\limits_{0}^{1}[/tex][tex]\int\limits_{0}^{1}[/tex][tex]\int\limits_{0}^{2\sqrt{U1U3}}[/tex]1d[tex]U_{2 }[/tex]d[tex]U_{1 }[/tex]d[tex]U_{3 }[/tex]=1-8/9=1/9.

Огледай пак решението си и коригирай какво точно и защо интегрираш и в какви граници.

[pal702004]

Виж, чак троен интеграл за тази задача идва малко на баир. Твърдиш, че вероятността е
[tex]1-\int_0^1 \int_0^1 2\sqrt{xy} dx dy[/tex]

Не ти ли мина през акъла, че при тези граници израза [tex]2 \sqrt{xy}[/tex] може да надвиши 1, което за вероятност е малко ташкън? Не, приятел - така с теслата няма да стане. Ти направи ли това, което те помолих - да провериш емпирично резултата - по какъвто и да е начин, все пак живеем в ерата на компютрите. И да го напишеш тук.

[Гост]

Виж, отговора е както го давам, проверил съм го в учебника. Не знам какъв ти е проблема, но очевидно единственият ташкън тука са знанията ти по статистика. Помисли си къде грешиш: какво точно означава плътностна функция, може ли плътностната функция да приема стойности по-големи от 1... и т.н. Помисли си дали не бъркаш понятията плътностна функция на вероятността и кумулативна функция и т.н. не ми се занимава с тебе повече.

[pal702004]

Аха, а пък вероятността [tex]b^2>9ac[/tex] трябва вече да е отрицателна. Казах ти да напишеш елементарно кодче пет реда, вместо един куп глупости. Аз да ти го напиша:

Код: Избери целия код

Private Sub Command1_Click()
Dim N, R As Long
Dim a, b, c As Single
N = 0
R = 0
While N < 100000000
 a = Rnd
 b = Rnd
 c = Rnd
 If b * b > 4 * a * c Then R = R + 1
 N = N + 1
Wend
MsgBox CDbl(R) / N
End Sub

[Гост]

Да прав си! Отговора в учебника е грешен. Интеграла, който по същество е интеграл за намиране на обем, е ограничен от условието, че b не трябва да надминава 1. При едно по-внимателно интегриране, получавам твоят отговор. Въпреки, на моменти грубият тон и от двете страни, благодаря за неочакваният за мен правилен отговор. Пиис. :)

[drago]

... P([tex]U_{1 }^{2}[/tex][tex]\ge[/tex]4[tex]U_{1 }[/tex][tex]U_{3 }[/tex])=...=1-[tex]\int\limits_{0}^{1}[/tex][tex]\int\limits_{0}^{1}[/tex][tex]\int\limits_{0}^{2\sqrt{U1U3}}[/tex]1d[tex]U_{2 }[/tex]d[tex]U_{1 }[/tex]d[tex]U_{3 }[/tex]=....

Да, това е така, но обърни внимание, че подинтегралната ф-я всъщност не е [tex]1[/tex], а [tex]1_{[0,1]^3}[/tex], т.е. индикатор ф-ята на единичния куб [tex][0,1]^3[/tex], Ти си го написал преди това, но явно си го забравил, като си смятал. Така че, там където [tex]2\sqrt{u_1u_3}[/tex] скача повече от 1, всъщност 1-то ще е нула. В резултат, ти по;учаваш по-гол. стойност на интеграла, отколкото е, и съответно по-малка стойност за търсената вероятност- явно тя ще е по-голяма от 1/9
На практика pal702004 смята същия този троен интеграл, без да го записва.