Интересни задачки

[EvriFail]

Задача 1. При регистриране за достъп в определена страница в Интернет се избира парола, която задължително се състои от 5 различни символа: първите два – цифри, останалите три - букви, като се използват задължително само цифрите 2, 3, 4 и само буквите B, C, D, K и F.
а/ Колко различни пароли съществуват?
б/ Каква е вероятността, ако изберем по случаен начин една парола измежду описаните, тя да започва с цифрата 2 и да завършва с буквата C?
в/ Каква е вероятността, ако изберем по случаен начин една парола измежду описаните по-горе, тя да не съдържа буквата В?
г/ Каква е вероятността, ако изберем по случаен начин една парола измежду описаните, тя да започва с четна цифра?
Задача 2. В студентския съвет на факултета са избрани 3 първокурсника, 5 второкурсника и 7 третокурсника. От този състав случайно се избират 5 студента за представитили на общоуниверстетско събрание.
А/ По колко различни начина може да се избере групата за семинара?
Б/ Каква е вероятността да са избрани студенти само от 3-ти курс?
В/ Каква е вероятността сред избраните няма второкурсници?
Г/ Каква е вероятността да са избрани 1 първокурсник, 1 второкурсник и трима третокурсника?
Д/ Каква е вероятността да е избран поне един от трети курс?
Задача 3. В наблюдателна станция са монтирани 4 радиолокатора с различни конструкции. Вероятността за откриване на обект с помощта на първия радиолокатор е 0,80, на втория – 0,85, на третия – 0,90 и на четвъртия – 0,95.
А) Наблюдател включва един от радиолокаторите. Каква е вероятността да бъде открит обект.
Б) След включването на един от радиолокаторите е регистриран обект. Каква е вероятността да е бил включен втория радиолокатор?
В) С първия радиолокатор е извършено четирикратно наблюдение. Каква е вероятността да е регистриран само един обект; 2) да са регистрирани 2 обекта.
Г) Колко наблюдения трябва да се направят с първия радиолокатор, че да се гарантира откриването на обект с вероятност 0,99.
Задача 4. Две урни съдържат топки, като в първата има 3 бели и 6 черни топки, а във втората – 2 бели и 3 черни топки. От първата урна изтегляме по случаен начин две топки и ги прехвърляме във втората урна. След това от втората урна изтегляме една топка.
А) Намерете вероятността изтеглената топка да е бяла.
Б) Ако знаем, че изтеглената топка е бяла, то каква е вроятността от първата урна да са били прехвърлени две бели топки.
В) Ако знаем, че изтеглената топка е черна, то каква е вероятността от първата урна да е била прехвърлена повече от една черна топка.
Г) Нека описаният по горе опит е повторен 3 пъти. Каква е вероятността поне веднъж да бъде изтеглена бяла топка.
Задача 5. При изпълнение на сервис тенисист използва кошница с 30 топки, от които само 10 са нови. Вероятността за точен удар с нова топка е 1/3, а със стара топка – 1/4.
А) .Да се намери вероятността за точен удар при случаен избор на топка.
Б) .Да се намери вероятността взетата топка да е стара, ако е известно че ударът е сполучлив.
В) Направени са три опита. Каква е вероятността тенисистът да има 1) точно две попадения; 2) три попадения.
Г) Колко опита трябва да направи тенисистът, че с вероятност 0,9 да има поне едно попадение.

[martin123456]

знам че темата е мн стара, но все пак, да не стои неотговорена
1.
а) първи 2 символа са цифри, които са сред 2,3,4 и значи имаме [tex]{3 \choose 2}2![/tex] 2цифрени числа от тях с различни цифри, понеже се интересуваме от наредбата им и не може да има повторения. останалите 3 символа са сред 5 букви и значи [tex]{5 \choose 3}3![/tex]. общо [tex]{3 \choose 2}2!{5 \choose 3}3!=\frac{3!2!5!3!}{2!3!2!}=5!.3=360[/tex].
б) вероятността е = (брой пароли с вид 2_ _ _ C)/360. втора позиция можем да запълник като изберем 1 от 2 цифри, значи по 2 начина. другите 2 позиции запълваме като изберем 2 букви от 4, неповтарящи се, значи [tex]{4 \choose 2}2!=\frac{4!2!}{2!2!}=\frac{4!}{2!}=12[/tex]. значи общо [tex]\frac{2.12}{360}=\frac{1}{10}[/tex].
в) вероятността е = (брой пароли без В)/360. В може да участва на 3,4,5та позиция. вероятността = 1- (брой пароли с буква В)/360. да фиксираме В на една от трите позиции, които може да заеме. другите 2 позиции запълваме с 4 букви, значи [tex]{4 \choose 2}2!=12[/tex]. Значи [tex]3.12=36[/tex] са вариантите за запълване на последните 3 позиции, така че да участва буквата В. 1вите позиции попълваме с 3 цифри, значи [tex]{3 \choose 2}2!=6[/tex]. общо паролите стават [tex]36.6[/tex]. за вероятността = [tex]1-\frac{3.36}{360}=1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}[/tex]
г) вероятнстта = (брой пароли, почващи с четна цифра)/360. на 1вите две места са цифри сред 2,3,4. устройва ни на първо място 2 или 4. на 2ро място избираме цифра от 2 цифри, значи по 2 начина. общо 1ви две позии се попълват по 2.2=4 начина. последните 3 позии - [tex]{5 \choose 3}3!=\frac{5!3!}{3!2!}=\frac{5!}{2!}=60[/tex]. знаи вероятността е [tex]\frac{4.60}{360}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}[/tex].

[martin123456]

2.
a) да изберем 5ма от 3+5+7=15 човека става по [tex]{15 \choose 5}[/tex] начина, понеже не се интересуваме от наредбата им и няма повторение
б) 5ма от 7 избираме по [tex]{7 \choose 5}[/tex] начина, значи вероятността е [tex]\frac{{7 \choose 5}}{{15 \choose 5}}[/tex].
в) т.е. да има само първок. и треток., общият им брой е 10. от тях 5 избираме по [tex]{10 \choose 5}[/tex]. вероятността = вероятността да има само 1вок и 3ток = [tex]\frac{{10 \choose 5}}{{15 \choose 5}}[/tex]
г)1 първок избираме по [tex]{3 \choose 1}[/tex], 1 втор. - [tex]{5 \choose 1}[/tex] и 3ма треток по [tex]{7 \choose 3}[/tex]. като ги премутираме получаваме [tex]5![/tex] пъти повече. значи броят е [tex]{3 \choose 1}{5 \choose 1}{7 \choose 3}5![/tex]. Значи веротяността е [tex]\frac{{3 \choose 1}{5 \choose 1}{7 \choose 3}5!}{15 \choose 5}{}[/tex].
д) вероятността да е избран поне 1 от 3ти курс = 1 - вероятността да не е избран никой от трети курс, което е както в) подточка

[martin123456]

3.
а) нека означим с [tex]H_i[/tex] хипотезата наблюдателят да е включил [tex]i[/tex]-ти радиолокатор. Нека събитието откриване на обект означим с A. [tex]p(A)=p(A|H1)p(H1)+p(A|H2)p(H2)+p(A|H3)p(H3)+p(A|H4)p(H4)=\frac{0.8+0.85+0.9+0.95}{4}[/tex][tex]=0.875[/tex].
б) сега търсим [tex]p(H_2|A)=\frac{p(A|H_2)p(H_2)}{p(A|H_1)p(H_1)+p(A|H_2)p(H_2)+p(A|H_3)p(H_3)+p(A|H_4)p(H_4)}[/tex][tex]=\frac{0.85x0.25}{0.25(0.8+0.85+0.9+0.95)}=\frac{0.85}{3.5}[/tex].
в) имаме: вероятност за [tex]k[/tex] успеха от [tex]n=4[/tex] опита при вероятност за успех при един опит [tex]p=0.8[/tex]. имаме биномно разпределение и формулата е [tex]{n \choose k}p^k(1-p)^{n-k}[/tex]. тук 1) [tex]k=1[/tex], а за 2) - [tex]k=2[/tex]
г) нека са нужни [tex]n[/tex] наблюдения. при толкова наброй наблюдения вероятността за откриване на обект e вероятността за откриване на поне един обект, т.е. на 1, 2,.., n обекта, което е [tex]p=\sum_{i=1}^{n}{n \choose i}p^i(1-p)^{n-i}=(p+1-p)^n-(1-p)^n=1-(1-p)^n[/tex]. Искаме то да е поне [tex]0.99[/tex], т.е. [tex]0.2^n \le 0.01[/tex], [tex]n=3[/tex]

[L.e.o]

4.
а) 8/21
б) 4/9
в) 3/4
г) 8/21 (опит1) > 161/252 (опит2) > 1813/2268 (опит3)


5.
а) 5/18
б) 3/5
в1)[tex]3.5.5.13/18^{3}[/tex] в2) [tex](5/18)^{3}[/tex]
г) 4

[n0_m0r3_pa1n]

На г подусловие получавам аз 6, но може и да съм объркал, но не ми пука..бая се скапах докато ги реша до някъде...

[seppen]

И аз, май трябва по-често да ровим във форума.
На коя г) получаваш 6?

[n0_m0r3_pa1n]

Извинявай...
за 5 г става на въпрос... ))

[L.e.o]

5г)
От 5а сме получили, че да уцели вер. е 5/13.
Вер. да Не уцели тенисиста от един опит е 13/18 . Вер. да не уцели от 2 опита е (13/18)^2, да не уцели от от n опита е (13/18)^n. Тоест, вероятността от n опита да е уцелил поне 1 път е: Pn = 1 - (13/18)^n.
Ние имаме Pn ≥ 0.9 и търсиме n. (n - цяла число)
0.9 ≤ 1 - (13/18)^n
(13/18)^n ≤ 0.1 , неравенството е изпълнено за n≥4
n=6 също е праилен отговор, но предполагам се търси минималният брой нужни сервиси, че с вер. 90% да е вкарал поне 1 точен, а този брой е n=4.

[Гост]

4.
а) 8/21
б) 4/9
в) 3/4
г) 8/21 (опит1) > 161/252 (опит2) > 1813/2268 (опит3)


5.
а) 5/18
б) 3/5
в1)[tex]3.5.5.13/18^{3}[/tex] в2) [tex](5/18)^{3}[/tex]
г) 4

Може ли малко да разясниш как получаваш стойностите на 4-та задача?
Мерси.